Яким є розмір траси київського фунікулера, якщо різниця висот між нижньою і верхньою станціями становить 75 м, а синус

Добро пожаловать! Чтобы вычислить длину трассы киевского фуникулера, мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением между длиной и высотой трассы.

Здесь у нас есть рисунок, чтобы лучше объяснить:
\[
\begin{array}{c}
-- C -- \\
/ \\
/ \\
/ \\
/ \\
/ \\
/ \\
A ----------------- B \\
\end{array}
\]

Пусть точка A обозначает нижнюю станцию фуникулера, B - верхнюю станцию, а точка C - точку подъема.

По условию задачи, разность в высоте между станциями A и B составляет 75 метров. Значение синуса угла наклона трассы до горизонта составляет 25/74.

Мы знаем, что синус угла α равен отношению противолежащего катета (высоты трассы) к гипотенузе (длине трассы), то есть sin(α) = AB / AC.

Чтобы найти длину трассы (AB), нам нужно избавиться от неизвестной высоты трассы. Мы можем это сделать, используя другое правило треугольника.

Так как у нас есть sin(α) = 25/74, то мы можем найти косинус угла α, используя формулу cos²(α) = 1 - sin²(α). Применяя эту формулу, мы получим:

cos²(α) = 1 - (25/74)².

Рассчитаем это значение:

cos²(α) = 1 - (625/5476) = 4851/5476.

Теперь мы можем найти косинус угла α, извлекая квадратный корень:

cos(α) = √(4851/5476).

Используя соотношение между катетом и гипотенузой, мы можем записать:

cos(α) = AB / AC.

Теперь мы можем выразить длину трассы (AB) с использованием значения косинуса:

AB = cos(α) * AC.

Так как у нас есть разность высот между станциями A и B, мы можем записать:

AC = AB + 75.

Теперь, подставляя значение AC, мы можем выразить AB:

AB = cos(α) * (AB + 75).

Теперь решим это уравнение, чтобы найти длину трассы AB.

\[AB = \cos(\alpha) \cdot (AB + 75).\]

Раскроем скобки:

\[AB = \cos(\alpha) \cdot AB + \cos(\alpha) \cdot 75.\]

Перенесем все, что содержит AB, на одну сторону:

\[AB - \cos(\alpha) \cdot AB = \cos(\alpha) \cdot 75.\]

Сгруппируем AB:

\[AB \cdot (1 - \cos(\alpha)) = \cos(\alpha) \cdot 75.\]

Разделим обе стороны на (1 - \cos(\alpha)):

\[AB = \frac{\cos(\alpha) \cdot 75}{1 - \cos(\alpha)}.\]

Теперь, чтобы найти точное численное значение для AB, мы можем подставить значение для \(\cos(\alpha)\):

\[AB = \frac{\frac{\sqrt{4851}}{\sqrt{5476}} \cdot 75}{1 - \frac{\sqrt{4851}}{\sqrt{5476}}}.\]

Подставляя значения в выражение, мы можем получить ответ на задачу.