Яким є периметр даного трикутника, якщо відомо, що один з його кутів дорівнює 90 градусів, сторона АВ має довжину

Для решения этой задачи сначала найдем значения остальных сторон треугольника.

Мы знаем, что один из углов равен 90 градусов, поэтому данный треугольник является прямоугольным. По свойствам прямоугольного треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: в квадрате гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть гипотенуза треугольника равна \(c\), а катеты - \(a\) и \(b\), где \(a\) и \(b\) - это стороны треугольника, кроме гипотенузы.

Так как один из углов равен 90 градусов, сторона \(AB\) является гипотенузой треугольника. Сторона гипотенузы обозначается как \(c\), поэтому \(c = 15\) см.

Теперь нам необходимо найти значения катетов. Мы знаем, что тангенс угла \(А\) равен \(0.75\). Тангенс угла равен отношению противоположенной стороны к прилежащей. В данном случае мы ищем противоположенный катет к углу \(А\), поэтому мы можем записать:

\(\tan(A) = \frac{b}{a}\), где \(a\) - это прилежащий катет, а \(b\) - противоположенный катет.

Подставляя известные значения, получаем:

\(0.75 = \frac{b}{a}\)

Решим это уравнение относительно \(a\). Умножим обе части на \(a\):

\(0.75 \cdot a = b\)

Теперь нам известны значения двух сторон треугольника. Применим теорему Пифагора:

\(c^2 = a^2 + b^2\)

Подставляя значения, получаем:

\(15^2 = a^2 + (0.75 \cdot a)^2\)

Раскроем скобки:

\(225 = a^2 + 0.5625 \cdot a^2\)

Скомбинируем подобные слагаемые:

\(225 = 1.5625 \cdot a^2\)

Разделим обе части уравнения на коэффициент \(1.5625\):

\(\frac{225}{1.5625} = a^2\)

Вычислим значение:

\(144 = a^2\)

Извлечем квадратный корень:

\(a = \sqrt{144}\)

\(a = 12\) см

Теперь, зная значение одного катета (\(a\)) и гипотенузы (\(c\)), мы можем найти второй катет, используя теорему Пифагора:

\(c^2 = a^2 + b^2\)

Подставляя значения, получаем:

\(15^2 = 12^2 + b^2\)

Раскроем скобки:

\(225 = 144 + b^2\)

Вычтем 144 из обеих частей уравнения:

\(81 = b^2\)

Извлечем квадратный корень:

\(b = \sqrt{81}\)

\(b = 9\) см

Теперь у нас есть все стороны треугольника. Для нахождения периметра треугольника нужно сложить длины всех его сторон:

Периметр \(P = a + b + c = 12 + 9 + 15\) см.

Подсчитаем:

\(P = 36\) см.

Поэтому, периметр данного треугольника равен 36 см.