Яка висота прямокутного паралелепіпеда, якщо його сторони відносяться як 1:2, повна площа поверхні дорівнює 76 см²

Давайте начнем с обозначений. Пусть длина прямоугольника будет равна \( x \), ширина будет равна \( 2x \), а высота - \( h \).

У нас есть два условия. Первое - отношение длины к ширине равно 1:2, что можно записать как:

\[
\frac{x}{2x} = \frac{1}{2}
\]

Если мы упростим это выражение, мы получим:

\[
\frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

Теперь рассмотрим второе условие. Площадь поверхности состоит из двух оснований (2 прямоугольника площадью \( x \cdot 2x \)) и четырех боковых поверхностей (4 прямоугольника площадью \( x \cdot h \)):

\[
2(x \cdot 2x) + 4(x \cdot h) = 76
\]

Упростим это уравнение:

\[
4x^2 + 4xh = 76
\]

Для поиска высоты, нам нужно еще одно уравнение с площадью боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из двух прямоугольников (длина и высота) и двух прямоугольников (ширина и высота):

\[
2(x \cdot h) + 2(2x \cdot h) = 60
\]

Упростим это уравнение:

\[
2xh + 4xh = 60
\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
4x^2 + 4xh &= 76 \tag{1} \\
6xh &= 60 \tag{2}
\end{align*}
\]

Давайте решим систему этих уравнений. Разделим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от коэффициента 6:

\[
xh = 10
\]

Теперь мы можем использовать это значение в первом уравнении:

\[
4x^2 + 4x \cdot 10 =76
\]

Упростим это уравнение:

\[
4x^2 + 40x = 76
\]

\[
4x^2 + 40x - 76 = 0
\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем использовать квадратное уравнение - \( ax^2 + bx + c = 0 \), где

\[
a = 4, \quad b = 40, \quad c = -76
\]

Можно использовать стандартную формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

Подставим значения в формулу и рассчитаем корни:

\[
x = \frac{{-40 \pm \sqrt{{40^2 - 4 \cdot 4 \cdot -76}}}}{{2 \cdot 4}}
\]

Выполняя вычисления, получаем два значения для \( x \):

\[
x_1 \approx -2.83, \quad x_2 \approx 3.33
\]

Поскольку длина не может быть отрицательной, мы принимаем \( x_2 \) как положительное значение длины.

Теперь мы можем найти высоту, используя уравнение \( xh = 10 \):

\[
3.33h = 10 \Rightarrow h \approx 3
\]

Таким образом, высота прямоугольного параллелепипеда равна приблизительно 3 сантиметрам.