Яким чином можна виразити вектори ef, fd, de, kd, pe через вектори kd=m, fk=n, якщо відомо, що точка d є точкою

Для решения данной задачи, давайте вначале определимся с обозначениями.

Пусть вектор \(\vec{kd}\) обозначим через \(\vec{m}\), а вектор \(\vec{fk}\) - через \(\vec{n}\).

Из условия задачи нам также известно, что точка \(d\) является точкой пересечения диагоналей четырехугольника \(m, k, p, f\), а также что отношение \(\frac{{md}}{{dp}} = \frac{4}{9}\) и отношение \(\frac{{kd}}{{df}} = \frac{7}{3}\).

Начнем с вектора \(\vec{ef}\). Заметим, что вектор \(\vec{ef}\) можно разложить на два вектора: \(\vec{ef} = \vec{ed} + \vec{df}\).

Так как точка \(d\) является точкой пересечения диагоналей, мы можем выразить вектор \(\vec{ed}\) через векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\). Рассмотрим треугольник \(mek\). Вектор \(\vec{ed}\) будет лежать на прямой \(mk\) и будет пропорционален этой прямой.

Так как \(\frac{{md}}{{dp}} = \frac{4}{9}\), мы можем записать \(\vec{ed}\) как \(\vec{ed} = \frac{4}{4+9} \cdot \vec{m} + \frac{9}{4+9} \cdot \vec{p}\).

Аналогично, вектор \(\vec{df}\) также можно выразить через векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\). Вектор \(\vec{df}\) будет лежать на прямой \(kf\), и мы можем записать \(\vec{df}\) как \(\vec{df} = \frac{7}{7+3} \cdot \vec{n} + \frac{3}{7+3} \cdot \vec{f}\).

Теперь, зная выражения для \(\vec{ed}\) и \(\vec{df}\), мы можем записать вектор \(\vec{ef}\) как:

\[
\vec{ef} = \vec{ed} + \vec{df} = \left(\frac{4}{4+9} \cdot \vec{m} + \frac{9}{4+9} \cdot \vec{p}\right) + \left(\frac{7}{7+3} \cdot \vec{n} + \frac{3}{7+3} \cdot \vec{f}\right)
\]

Итак, мы выразили вектор \(\vec{ef}\) через векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\).

Аналогично можно поступить и с остальными векторами.

Давайте выразим вектор \(\vec{fd}\) через векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\).
Вектор \(\vec{fd}\) можно разложить на два вектора: \(\vec{fd} = \vec{df} + \vec{fe}\).
Мы уже знаем выражение для \(\vec{df}\), поэтому останется только выразить \(\vec{fe}\).

Вектор \(\vec{fe}\) является противоположным вектору \(\vec{ef}\), поэтому \(\vec{fe} = -\vec{ef}\).

Итак,

\[
\vec{fd} = \vec{df} + \vec{fe} = \left(\frac{7}{7+3} \cdot \vec{n} + \frac{3}{7+3} \cdot \vec{f}\right) + \left(-\frac{4}{4+9} \cdot \vec{m} - \frac{9}{4+9} \cdot \vec{p}\right)
\]

Аналогично, мы можем выразить векторы \(\vec{de}\), \(\vec{kd}\) и \(\vec{pe}\) через векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), используя соответствующие разложения.

В итоге, выражения для векторов \(\vec{ef}\), \(\vec{fd}\), \(\vec{de}\), \(\vec{kd}\) и \(\vec{pe}\) будут следующими:

\[
\vec{ef} = \left(\frac{4}{4+9} \cdot \vec{m} + \frac{9}{4+9} \cdot \vec{p}\right) + \left(\frac{7}{7+3} \cdot \vec{n} + \frac{3}{7+3} \cdot \vec{f}\right)
\]

\[
\vec{fd} = \left(\frac{7}{7+3} \cdot \vec{n} + \frac{3}{7+3} \cdot \vec{f}\right) + \left(-\frac{4}{4+9} \cdot \vec{m} - \frac{9}{4+9} \cdot \vec{p}\right)
\]

\[
\vec{de} = \left(-\frac{9}{4+9} \cdot \vec{p} - \frac{4}{4+9} \cdot \vec{m}\right) + \left(-\frac{7}{7+3} \cdot \vec{n} - \frac{3}{7+3} \cdot \vec{f}\right)
\]

\[
\vec{kd} = \vec{m}
\]

\[
\vec{pe} = -\left(\frac{9}{4+9} \cdot \vec{p} + \frac{4}{4+9} \cdot \vec{m}\right)
\]

Таким образом, мы выразили векторы \(\vec{ef}\), \(\vec{fd}\), \(\vec{de}\), \(\vec{kd}\) и \(\vec{pe}\) через векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) с использованием заданных точек и отношений.