Яким чином можна показати, що радіус кола, описаного навколо правильного дванадцятикутника зі стороною а, також

Для того, чтобы показать, что радиус кола, описанного вокруг правильного двенадцатиугольника со стороной \(a\), также равен \(a\), мы можем воспользоваться геометрическими свойствами правильного многоугольника.

Уравнение окружности можно записать в виде \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности. Опишем двенадцатиугольник в декартовой системе координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат \((0, 0)\). В этом случае его вершины будут иметь координаты \((a, 0)\), \((\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})\), \((- \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})\), и так далее, поворачиваясь на углы \(30^\circ\).

Поскольку правильный двенадцатиугольник имеет симметричное расположение вершин относительно начала координат, то его центр окружности будет совпадать с началом координат \((0, 0)\).

Для нахождения радиуса окружности, описанного вокруг двенадцатиугольника, нам нужно найти расстояние от центра окружности до одной из вершин. Давайте рассмотрим расстояние от начала координат до вершины, расположенной на оси \(x\) (вершина имеет координаты \((a, 0)\)).

Используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

где \((x_1, y_1)\) - координаты одной точки, а \((x_2, y_2)\) - координаты другой точки, мы можем вычислить расстояние \(d\).

В нашем случае, \(x_1 = 0\), \(y_1 = 0\), \(x_2 = a\), \(y_2 = 0\), поэтому формула примет вид:

\[d = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{a^2} = a\]

Таким образом, мы доказали, что радиус кола, описанного вокруг правильного двенадцатиугольника со стороной \(a\), также равен \(a\).