Какой процент материала остается после обрезания кубика максимального размера из деревянного шара радиусом

Для начала рассмотрим основные формулы, которые нам понадобятся для решения задачи. Площадь поверхности сферы можно вычислить по формуле:
\[ S = 4\pi r^2, \]
где \( S \) - площадь поверхности сферы, а \( r \) - радиус сферы.

Объем куба можно вычислить по формуле:
\[ V_{\text{куба}} = a^3, \]
где \( V_{\text{куба}} \) - объем куба, а \( a \) - длина ребра куба.

При обрезании куба из шара радиуса \( r \) у нас останутся три части: верхняя сферическая капля, стенки куба и нижняя сферическая капля. Давайте рассмотрим каждую часть по отдельности.

1. Верхняя сферическая капля:
Для ее нахождения нам нужно знать радиус сферы и высоту куба. Радиус сферы остается неизменным после обрезания, поэтому радиус сферической капли будет равен радиусу изначального шара. Для нахождения высоты капли используем теорему Пифагора:
\[ h_{\text{верх}} = r - a. \]
Таким образом, площадь поверхности верхней сферической капли будет равна:
\[ S_{\text{верх}} = 4\pi r^2 - \pi (r - a)^2. \]

2. Стенки куба:
Стенки куба будут представлять собой остаток поверхности сферы после удаления верхней сферической капли. Площадь поверхности стенок куба можно вычислить как разность площадей поверхности сферы и верхней сферической капли:
\[ S_{\text{стенок}} = 4\pi r^2 - S_{\text{верх}}. \]

3. Нижняя сферическая капля:
Аналогично верхней сферической капле, радиусом этой капли будет радиус исходного шара, а высоту можно вычислить снова с помощью теоремы Пифагора:
\[ h_{\text{низ}} = r - a. \]
Итак, площадь поверхности нижней сферической капли будет равна:
\[ S_{\text{низ}} = \pi (r - a)^2. \]

Теперь суммируем площади поверхностей трех частей шара:
\[ S_{\text{общая}} = S_{\text{верх}} + S_{\text{стенок}} + S_{\text{низ}}. \]

Итоговый процент материала, оставшегося после обрезания кубика, равен отношению площади поверхности оставшихся частей к площади поверхности исходного шара:
\[ \text{Процент остатка} = \frac{S_{\text{общая}}}{4\pi r^2} \times 100\%. \]