Яким буде сьомий член геометричної прогресії з додатним знаменником, якщо третій і п ятий члени прогресії дорівнюють

Щоб зрозуміти та виявити пропущені елементи в геометричній прогресії, необхідно скористатися формулою для знаходження елементів такої прогресії.

Формула для знаходження n-го члена геометричної прогресії має вигляд:

\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

де \(a_n\) - n-й член прогресії, \(a_1\) - перший член прогресії, q - знаменник прогресії, n - порядковий номер шуканого члена прогресії.

У нашому випадку маємо відомі значення третього (n=3) та п"ятого (n=5) членів прогресії, які дорівнюють відповідно -32 та -8. Нам також відомо, що знаменник прогресії є додатним числом.

Отже, ми можемо скористатися цими відомими значеннями, щоб скласти систему рівнянь та знайти значення першого члена прогресії \(a_1\) та знаменника прогресії q. Після цього ми зможемо знайти сьомий член прогресії \(a_7\), використовуючи отримані значення.

Давайте розв"яжемо систему рівнянь:

Спочатку ми знайдемо значення \(a_1\):

\[a_3 = a_1 \cdot q^{(3-1)}\]
\[-32 = a_1 \cdot q^2\] \[1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)

\[a_5 = a_1 \cdot q^{(5-1)}\]
\[-8 = a_1 \cdot q^4 \] \[2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -, \ -5\]

У математиці є кілька способів вирішення таких систем рівнянь, але один з найпоширеніших - це метод елімінації. Давайте використаємо цей метод, щоб розв"язати систему рівнянь.

Домножимо рівняння 1) на -8 і рівняння 2) на -32, щоб коефіціент перед \(a_1\) у обох рівняннях був однаковим:

\((-8) \cdot (-32) = (-32) \cdot (-8)\)

Отримаємо:

\[256 = -32 \cdot a_1 \cdot q^2\]
\[256 = 256 \cdot a_1 \cdot q^4\]

Тепер, розділивши обидві рівності на 256, ми матимемо:

\[1 = -0.125 \cdot q^2\]
\[1 = 1 \cdot a_1 \cdot q^4\]

Тепер ми можемо вирішити ці рівняння, щоб знайти значення знаменника прогресії \(q\):

\[q^2 = \frac{1}{-0.125}\] \[ 1/-0.125)\] \ \[-8 ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -8 = \ q^2\]

\[q^4 = \frac{1}{1}\] \[ 1/1)\] \ \[-1 ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1 = \ q^4\]

Хоча у нас можна отримати два значення для знаменника прогресії \(q\) (-8 і -1), враховуючи, що знаменник прогресії є додатним числом, ми візьмемо тільки значення -1 для \(q\).

Тепер, коли ми знаходимо значення знаменника \(q\), ми можемо знайти значення першого члена \(a_1\). Для цього підставимо значення \(q = -1\) у одне з рівнянь:

\[1 = a_1 \cdot (-1)^4\]
\[1 = a_1 \cdot 1\]
\[1 = a_1\]

Тепер, коли ми знаходимо значення \(a_1 = 1\), ми можемо використати цей член та значення знаменника \(q = -1\), щоб знайти сьомий член прогресії \(a_7\):

\[a_7 = a_1 \cdot (-1)^{(7-1)}\]
\[a_7 = 1 \cdot (-1)^6\]
\[a_7 = 1 \cdot 1\]
\[a_7 = 1\]

Отже, сьомий член геометричної прогресії буде 1.

Щоб виправити цю прогресію, як ви просили, ми можемо замінити -8 знаменником, третій член прогресії, на 1, замінити -32, п"ятий член прогресії, на 1, а всі інші члени залишити без змін. Тоді прогресія буде мати наступний вигляд:

1, ..., 1, ..., ...

Думаю, це приведе прогресію в бажану форму.