Яким буде рівняння дотичної до графіка функції f(x)=x2+3x-8, яка має таку ж саму напрямленість, що й пряма y=9x-1?

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції \(f(x) = x^2 + 3x - 8\) з такою ж самою напрямленістю, що й пряма \(y = 9x - 1\), треба врахувати декілька кроків.

# Крок 1: Знайти похідну функції \(f(x)\)
Похідна функції \(f(x)\) дозволяє нам знайти значення нахилу (або градієнту) функції у будь-якій точці. Для знаходження похідної, використовуємо правила похідної для кожного терміна:

\[f"(x) = \dfrac{d}{dx}(x^2) + \dfrac{d}{dx}(3x) - \dfrac{d}{dx}(8)\]

Застосуємо правила похідної:
\[
f"(x) = 2x + 3 - 0
\]
Скоротимо:
\[
f"(x) = 2x + 3
\]

# Крок 2: Знайти значення нахилу прямої \(y = 9x - 1\)
Зауважимо, що нахилу прямої дорівнює коефіцієнту \(\text{y}\text{-вісі}\). Таким чином, для прямої \(y = 9x - 1\) нахил буде 9.

# Крок 3: Знайти точку перетину функції \(f(x)\) та дотичної
Щоб знайти точку перетину, розв"яжемо систему рівнянь \(y = f(x)\) та \(y = mx + c\), де \(m\) - нахил дотичної, а \(c\) - перетин з осою \(\text{x}\text{-вісі}\).

Підставимо \(f(x)\) в рівняння \(y = mx + c\):
\[
x^2 + 3x - 8 = (2x + 3)x + c
\]
Розширимо це рівняння:
\[
x^2 + 3x - 8 = 2x^2 + 3x + c
\]
Скоротимо:
\[
x^2 - 2x^2 + 3x - 3x - 8 = c
\]
\[
-x^2 - 8 = c
\]

Отже, точка перетину є \((x, y) = \left(x, -x^2 - 8\right)\).

# Крок 4: Використовуйте нахил дотичної для знайдення рівняння дотичної
Ми знаємо, що нахил дотичної дорівнює 9, тому можемо використовувати це для знаходження значення \(c\) у рівнянні \(y = mx + c\).

Підставимо значення нахилу та координати перетину у рівняння:
\[
- x^2 - 8 = 9x + c
\]

Отже, рівняння дотичної до графіка функції \(f(x)\) з такою ж самою напрямленістю, що й пряма \(y = 9x - 1\), має вигляд:
\[
y = 9x - 1 - x^2 - 8
\]

Згорнувши це рівняння, отримуємо остаточний вигляд дотичної:
\[
y = -x^2 + 9x - 9
\]

Отже, рівняння дотичної до графіка функції \(f(x) = x^2 + 3x - 8\), яка має таку ж саму напрямленість, що й пряма \(y = 9x - 1\), є \(y = -x^2 + 9x - 9\).