Яким буде перший член арифметичної прогресії, якщо вона містить 20 членів і сума членів з парними номерами

Для решения данной задачи, нам нужно определить первый член арифметической прогрессии. Первым шагом, определим общую формулу суммы членов арифметической прогрессии, чтобы получить уравнение, которое мы сможем решить.

Общая формула суммы членов арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d),\]
где \(S\) - сумма, \(n\) - количество членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность между членами прогрессии.

Теперь нам дано, что прогрессия содержит 20 членов и сумма членов с парными номерами на 800 больше, чем сумма членов с непарными номерами. Предположим, что первый член прогрессии равен \(a\).

Сумма членов с парными номерами:
\[S_{\text{парн}} = \frac{n}{2} \cdot (2a + 2d),\]
Сумма членов с непарными номерами:
\[S_{\text{непарн}} = \frac{n}{2} \cdot (2a + d).\]

Согласно условию, сумма членов с парными номерами на 800 больше, чем сумма членов с непарными номерами. Поэтому, мы можем записать уравнение:
\[S_{\text{парн}} - S_{\text{непарн}} = 800.\]

Подставляя значения сумм из формул выше, получаем:
\[\frac{n}{2} \cdot (2a + 2d) - \frac{n}{2} \cdot (2a + d) = 800.\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:
\[\frac{n}{2} \cdot d = 800.\]

Теперь нам нужно использовать факт, что в прогрессии содержится 20 членов. Подставим значение \(n = 20\) в уравнение:
\[\frac{20}{2} \cdot d = 800.\]

Упрощая, мы получаем:
\[10d = 800.\]

Делим обе части уравнения на 10:
\[d = 80.\]

Теперь, когда мы нашли значение разности между членами прогрессии (\(d = 80\)), мы можем использовать это значение, чтобы найти первый член прогрессии (\(a\)).

Используем выражение для \(S_{\text{парн}}\):
\[S_{\text{парн}} = \frac{n}{2} \cdot (2a + 2d).\]
Подставляем значения \(n = 20\) и \(d = 80\):
\[S_{\text{парн}} = \frac{20}{2} \cdot (2a + 2 \cdot 80).\]

Упрощаем:
\[10 \cdot (2a + 160) = 800.\]

Раскрываем скобки:
\[20a + 1600 = 800.\]

Вычитаем 1600 из обеих частей уравнения:
\[20a = -800.\]

Делим обе части на 20:
\[a = -40.\]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен -40.