Яким буде об єм правильної трикутної піраміди з бічним ребром довжиною m і кутом альфа між бічним ребром та площиною

Для решения этого вопроса воспользуемся формулой для объема правильной треугольной пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h,\]
где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Сначала нам нужно найти площадь основания пирамиды. Поскольку в данной задаче речь идет о правильной треугольной пирамиде, основание будет представлять собой равносторонний треугольник.

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить с помощью формулы:
\[S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4},\]
где \(a\) - длина стороны треугольника.

Следующим шагом нужно найти высоту пирамиды. Обратимся к геометрическому определению высоты пирамиды: это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Так как у нас имеется угол \(\alpha\) между боковым ребром и плоскостью основания, то этот угол и будет определять высоту пирамиды.

Высоту треугольной пирамиды можно найти с использованием тригонометрической функции \(sin\), примененной к углу \(\alpha\):
\[h = m \times sin(\alpha).\]

Теперь, когда у нас есть все данные, мы можем вычислить объем пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \times m \times sin(\alpha).\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром длиной \(m\) и углом \(\alpha\) между боковым ребром и плоскостью основания будет равен \(\frac{a^2\sqrt{3}}{12} \times m \times sin(\alpha)\).