Яким буде об єм конуса, якщо радіуси основи циліндра і конуса рівні, а об єм циліндра становить 54пі см^3?

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для объема конуса, которая выглядит следующим образом:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{основы конуса}}^2 h_{\text{конуса}}\]

Где:
\(V_{\text{конуса}}\) - объем конуса,
\(r_{\text{основы конуса}}\) - радиус основы конуса,
\(h_{\text{конуса}}\) - высота конуса.

Нам дано, что радиусы основы цилиндра и конуса равны. Обозначим этот радиус как \(r\). Также нам известно, что объем цилиндра составляет 54 \(\pi\) см\(^3\).

Рассчитаем высоту цилиндра с использованием формулы для объема цилиндра:

\[V_{\text{цилиндра}} = \pi r_{\text{основы цилиндра}}^2 h_{\text{цилиндра}}\]

Подставим известные значения:

\[54 \pi = \pi r^2 h_{\text{цилиндра}}\]

Сократим обе стороны уравнения на \(\pi\):

\[54 = r^2 h_{\text{цилиндра}}\]

Теперь мы должны использовать данное уравнение, чтобы выразить \(h_{\text{цилиндра}}\). Для этого разделим обе стороны уравнения на\( r^2\):

\[\frac{54}{r^2} = h_{\text{цилиндра}}\]

Теперь мы устанавливаем равенство между высотой цилиндра (\(h_{\text{цилиндра}}\)) и высотой конуса (\(h_{\text{конуса}}\)):

\[h_{\text{конуса}} = h_{\text{цилиндра}}\]

Таким образом, получаем:

\[h_{\text{конуса}} = \frac{54}{r^2}\]

Подставим объем конуса и радиус основы в формулу для объема конуса:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{\text{конуса}}\]

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{54}{r^2}\]

Сократим \(r^2\):

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 54\]

Таким образом, объем конуса будет равен \(18\pi\) кубических сантиметров.