Каково расстояние от конца перпендикуляра, восстановленного от центра вписанной окружности треугольника, до его сторон

Давайте решим эту задачу. Из условия известно, что у нас есть треугольник со сторонами длиной 13, а также перпендикуляр, проведенный от центра вписанной окружности до одной из сторон. Нам нужно найти расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Для начала вспомним некоторые свойства вписанной окружности треугольника. Если у нас есть треугольник ABC с вписанной окружностью, то точка касания окружности с стороной AB обозначается как D, с BC - E, с CA - F.

Заметим, что данное нам расстояние является радиусом вписанной окружности, так как перпендикуляр проведен из центра окружности. Давайте обозначим его как r.

Для дальнейшего решения нам понадобится формула треугольника Герона, которая связывает площадь треугольника с длинами его сторон. Формула имеет следующий вид:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где S - площадь треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр, который можно вычислить следующим образом:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

В нашем случае длины сторон треугольника равны 13, поэтому \(a = b = c = 13\). Подставим эти значения в формулу:

\[p = \frac{13 + 13 + 13}{2} = 19.5\]

Теперь мы можем найти площадь треугольника:

\[S = \sqrt{19.5 \cdot (19.5 - 13) \cdot (19.5 - 13) \cdot (19.5 - 13)} = \sqrt{19.5 \cdot 6.5 \cdot 6.5 \cdot 6.5} = \sqrt{4089.375} ≈ 63.94\]

Так как площадь треугольника можно выразить двумя способами, а именно через радиус вписанной окружности и через длины его сторон, мы можем записать следующее равенство:

\[S = \frac{abc}{4r}\]

где a, b, c - длины сторон треугольника, а r - радиус вписанной окружности. Подставим известные значения:

\[63.94 = \frac{13 \cdot 13 \cdot 13}{4r}\]

Решим это уравнение относительно r:

\[r = \frac{13 \cdot 13 \cdot 13}{4 \cdot 63.94} ≈ 5.95\]

Таким образом, расстояние от конца перпендикуляра, восстановленного от центра вписанной окружности до сторон треугольника, составляет примерно 5.95 единиц длины.