Які значення орбітальної швидкості руху місяця та періоду його обертання навколо Землі, якщо відомо, що місяць

Щоб знайти значення орбітальної швидкості руху місяця та періоду його обертання навколо Землі, перш за все нам знадобиться використати закон всесвітнього тяжіння Ньютона. Цей закон стверджує, що сила тяжіння між двома тілами пропорційна їх масам і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.

Ми можемо використати цей закон для обчислення швидкості місяця на його орбіті. Нехай \(V\) - швидкість руху місяця, \(m_{\text{місяця}}\) - маса місяця, \(m_{\text{Землі}}\) - маса Землі, \(r\) - відстань між місяцем та Землею.

Згідно з законом всесвітнього тяжіння, ми можемо записати рівняння:

\[F = G \cdot \frac{{m_{\text{Землі}} \cdot m_{\text{місяця}}}}{{r^2}}\],

де \(F\) - сила тяжіння, а \(G\) - гравітаційна постійна.

Також, ми знаємо, що сила тяжіння \(F\) є центростремительною силою, яка утримує місяць на його орбіті. Ця сила може бути виражена як масу місяця, помножену на орбітальне прискорення \(a\):

\[F = m_{\text{місяця}} \cdot a\].

Оскільки ми розглядаємо кругову орбіту, прискорення \(a\) буде зв"язане з швидкістю \(V\) таким способом:

\[a = \frac{{V^2}}{{r}}\].

Підставляємо отримані залежності в рівняння сили тяжіння:

\[m_{\text{місяця}} \cdot a = G \cdot \frac{{m_{\text{Землі}} \cdot m_{\text{місяця}}}}{{r^2}}\].

Підставляємо вираз для прискорення \(a\):

\[m_{\text{місяця}} \cdot \frac{{V^2}}{{r}} = G \cdot \frac{{m_{\text{Землі}} \cdot m_{\text{місяця}}}}{{r^2}}\].

Зауважте, що маси місяця \(m_{\text{місяця}}\) знімаються у лівій та правій частині рівняння. Ми можемо спростити рівняння, поділивши обидві частини на \(m_{\text{місяця}}\):

\[\frac{{V^2}}{{r}} = \frac{{G \cdot m_{\text{Землі}}}}{{r^2}}\].

Задача запрошує знайти значення швидкості \(V\). Ми можемо вирішити це рівняння, помноживши обидві його частини на \(r\):

\[V^2 = G \cdot \frac{{m_{\text{Землі}}}}{{r}}\].

І нарешті, витягнемо корінь з обох частин рівняння для отримання значення швидкості \(V\):

\[V = \sqrt{{G \cdot \frac{{m_{\text{Землі}}}}{{r}}}}\].

Тепер ми можемо вставити відомі значення маси Землі \(m_{\text{Землі}}\) та відстані \(r\) і вирішити це рівняння для знаходження швидкості \(V\).