Які значення мають катети трикутника і його периметр, якщо точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник

Давайте розберемося з цією задачею по кроку:

1. Спочатку давайте зберемо всю важливу інформацію з тексту задачі:
- Трикутник є прямокутним.
- В прямокутний трикутник вписане коло.
- Точка дотику кола з гіпотенузою розділяє її на два відрізки довжиною 12 см і 18 см.
- Радіус вписаного кола потрібно знайти.

2. Для розв"язання цієї задачі, ми можемо скористатися властивостями прямокутного трикутника та кола, вписаного в нього.

- Зліва від точки дотику кола з гіпотенузою розташований відрізок довжиною 18 см, а справа - відрізок довжиною 12 см. Оскільки коло дотикається до гіпотенузи, то ці два відрізки утворюють з гіпотенузою прямий кут.
- Звідси, можемо застосувати теорему Піфагора, щоб знайти довжину гіпотенузи. Оскільки ця теорема має вигляд \( a^2 + b^2 = c^2 \), де \( a \) і \( b \) - катети, а \( c \) - гіпотенуза, ми отримуємо:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 12^2 + 18^2 = c^2 \]
\[ 144 + 324 = c^2 \]
\[ 468 = c^2 \]
\[ c = \sqrt{468} \]

3. Тепер продовжимо з розрахунком радіуса вписаного кола. У прямокутному трикутнику радіус вписаного кола дорівнює половині гіпотенузи.

\[ \text{радіус вписаного кола} = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{468}}{2} \]

4. Таким чином, ми отримали відповідь. Значення катетів трикутника - 12 см і 18 см, а периметр - сума всіх трьох сторін. Периметр можна знайти за формулою:

\[ \text{периметр} = a + b + c \]

де \( a \) і \( b \) - катети, \( c \) - гіпотенуза.

Тепер, коли ми знаємо значення гіпотенузи \( c \), можемо обчислити периметр, підставивши значення катетів:

\[ \text{периметр} = 12 + 18 + \sqrt{468} \]

Отже, периметр трикутника буде залежати від радіуса вписаного кола, який ми розрахували.