Які значення маси планети та періоду обертання супутника, якщо супутник рухається по коловій орбіті навколо планети

Данная задача связана с законами Кеплера и законом тяготения. Мы можем использовать формулу для определения периода обращения спутника вокруг планеты, а также закон тяготения для определения массы планеты.

Период обращения спутника можно вычислить с использованием следующей формулы:

\[ T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{a^3}{G \cdot M}} \]

где \( T \) - период обращения, \( \pi \) - число Пи (приближенно равно 3.14159), \( a \) - радиус орбиты спутника (в данном случае равен радиусу планеты), \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты.

Также у нас есть информация о прискорении движения спутника, которое равно 0,95 м/с². Это прискорение является центростремительным и связано с законом тяготения:

\[ a = \frac{v^2}{r} \]

где \( a \) - центростремительное ускорение, \( v \) - скорость спутника, \( r \) - радиус орбиты спутника.

По условию задачи радиус планеты равен 3400.

Для определения массы планеты \( M \) мы можем использовать третий закон Кеплера:

\[ \frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M} \]

где \( T \) - период обращения спутника (который мы найдем ранее), \( R \) - расстояние между центром планеты и центром орбиты спутника (равно радиусу планеты), \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты.

Теперь давайте решим задачу, используя все эти формулы.

Шаг 1: Найдем период обращения спутника:
Мы знаем, что радиус орбиты спутника \( a \) равен радиусу планеты, поэтому \( a = 3400 \).

Подставим известные значения в формулу для периода обращения:

\[ T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{a^3}{G \cdot M}} \]

\[ T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{3400^3}{G \cdot M}} \]

Шаг 2: Найдем скорость спутника:
Мы знаем, что центростремительное ускорение \( a \) равно 0,95 м/с² и радиус орбиты спутника \( r \) равен радиусу планеты, поэтому \( r = 3400 \).

Подставим известные значения в формулу для центростремительного ускорения:

\[ a = \frac{v^2}{r} \]

\[ v^2 = a \cdot r \]

\[ v^2 = 0,95 \cdot 3400 \]

\[ v^2 = 3230 \]

\[ v = \sqrt{3230} \]

Шаг 3: Найдем массу планеты:
Мы знаем, что период обращения спутника \( T \) равен результату из шага 1, а расстояние между центром планеты и центром орбиты спутника \( R \) равно радиусу планеты, то есть \( R = 3400 \). Гравитационная постоянная \( G \) равна 6,67430 × 10^(-11) м³/(кг·с²).

Подставим известные значения в формулу для третьего закона Кеплера:

\[ \frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M} \]

\[ \frac{(2\pi \cdot \sqrt{\frac{3400^3}{G \cdot M}})^2}{3400^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M} \]

\[ \frac{4\pi^2 \cdot \frac{3400^3}{G \cdot M}}{3400^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M} \]

\[ \frac{4\pi^2}{G \cdot M} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M} \]

Это тождественное уравнение, поэтому масса планеты не имеет значения в данной задаче.

Таким образом, при данных условиях масса планеты не может быть определена. Однако, мы знаем, что период обращения спутника равен \( T \), найденному в шаге 1, и скорость спутника равна \( v \), найденной в шаге 2.