Які є значення косинусів кутів у трикутнику АВС і який тип цього трикутника, якщо А(1-4-1) В(4 7 0) С(-2

Щоб визначити значення косинусів кутів у трикутнику АВС і визначити тип цього трикутника, розглянемо кожен кут окремо та застосуємо теорему косинусів.

Почнемо з визначення довжин сторін трикутника АВС.
Відстань між точками А і В можна знайти за формулою відстані між двома точками:

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Підставляючи значення координат точок А і В, отримуємо:

\[ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (7 - (-4))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 121 + 1} = \sqrt{131}\]

Аналогічно можна знайти довжини сторін BC і CA:

\[ BC = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (7 - 4)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{36 + 9 + 0} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}\]
\[ CA = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (7 - (-4))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 121 + 1} = \sqrt{131}\]

Тепер розглянемо кожен кут окремо і застосуємо теорему косинусів.
Нехай кут А між сторонами ВС і СА, кут В між сторонами АС і СВ, а кут С між сторонами АВ і ВС.

1) Визначимо значення косинусу кута А:
\[ \cos{A} = \frac{BC^2 + CA^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot CA}\]
\[ \cos{A} = \frac{(3 \sqrt{5})^2 + \sqrt{131}^2 - \sqrt{131}^2}{2 \cdot 3 \sqrt{5} \cdot \sqrt{131}}\]
\[ \cos{A} = \frac{45 + 131 - 131}{2 \cdot 3 \sqrt{5} \cdot \sqrt{131}} = \frac{45}{2 \cdot 3 \sqrt{5} \cdot \sqrt{131}}\]
\[ \cos{A} = \frac{45}{6 \sqrt{5} \sqrt{131}} = \frac{15}{2 \sqrt{5} \sqrt{131}} = \frac{15 \sqrt{131}}{2 \cdot 5 \sqrt{131}}\]
\[ \cos{A} = \frac{3 \sqrt{131}}{2 \sqrt{131}} = \frac{3}{2}\]

2) Визначимо значення косинусу кута В:
\[ \cos{B} = \frac{CA^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot CA \cdot AB}\]
\[ \cos{B} = \frac{\sqrt{131}^2 + \sqrt{131}^2 - (3 \sqrt{5})^2}{2 \cdot \sqrt{131} \cdot 3 \sqrt{5}}\]
\[ \cos{B} = \frac{131 + 131 - 45}{2 \cdot \sqrt{131} \cdot 3 \sqrt{5}} = \frac{2 \cdot 131 - 45}{2 \cdot \sqrt{131} \cdot 3 \sqrt{5}}\]
\[ \cos{B} = \frac{262 - 45}{6 \sqrt{131} \sqrt{5}} = \frac{217}{6 \sqrt{131} \sqrt{5}} = \frac{217}{6 \cdot \sqrt{131} \cdot \sqrt{5}}\]
\[ \cos{B} = \frac{217}{6 \cdot \sqrt{131 \cdot 5}} = \frac{217}{6 \cdot \sqrt{655}}\]

3) Кут С є протилежним куту АВ, тому косинус кута С дорівнює косинусу кута А:
\[ \cos{C} = \cos{A} = \frac{3}{2}\]

Тепер визначимо тип трикутника.
Згідно з відношеннями між косинусами кутів та типами трикутників, важливо розглянути значення косинусів кутів.

Якщо всі кути трикутника гострі (тобто всі значення косинусів кутів менше 1), трикутник є гострокутним.
Якщо один кут тупий (тобто значення косинусу кута більше 1), трикутник є тупокутним.
Якщо один з кутів рівний 90° (тобто косинус кута дорівнює 0), трикутник є прямокутним.

У нашому випадку, значення косинусів кутів А, В і С дорівнюють 3/2, 217/(6 * sqrt(655)) і 3/2 відповідно.
Оскільки жодне значення не дорівнює або перевищує 1, це означає, що всі кути трикутника АВС є гострими.
Отже, трикутник АВС є гострокутним трикутником.