Які є значення косинусів кутів трикутника АВС і який тип цього трикутника, якщо координати точок А(1;−3;4),В(2;−2;5),С

Чтобы найти значения косинусов углов треугольника ABC и определить тип треугольника, нам необходимо вычислить длины сторон треугольника и затем применить формулу для вычисления косинуса угла.

1. Вычисление длины сторон треугольника ABC:
Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

Вычислим длины сторон AB, BC и AC:

Длина AB:
$$AB=\sqrt{(2-1{)}^2+(-2-(-3){)}^2+(5-4{)}^2}$$

Длина BC:
$$BC=\sqrt{(3-2{)}^2+(1-(-2){)}^2+(3-5{)}^2}$$

Длина AC:
$$AC=\sqrt{(3-1{)}^2+(1-(-3){)}^2+(3-4{)}^2}$$

2. Найдем значения косинусов углов треугольника ABC:
Для этого мы можем использовать теорему косинусов:
$$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
$$cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$
$$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

Вычислим значения косинусов углов A, B и C, используя стороны треугольника ABC, которые мы вычислили ранее:

$$cosA=\frac{B{C}^2+A{C}^2-A{B}^2}{2\cdot BC\cdot AC}$$
$$cosB=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$$
$$cosC=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}$$

3. Определение типа треугольника:
- Если все три косинуса углов положительны (cos A > 0, cos B > 0, cos C > 0), то треугольник ABC является остроугольным.
- Если один из косинусов углов равен нулю (cos A = 0, cos B = 0, cos C = 0), то треугольник ABC является прямоугольным.
- Если один из косинусов углов отрицателен (cos A < 0, cos B < 0, cos C < 0), то треугольник ABC является тупоугольным.

Теперь давайте посчитаем значения косинусов углов и определим тип треугольника:

1. Вычисление длины сторон треугольника ABC:
AB = $\sqrt{(2-1{)}^2+(-2-(-3){)}^2+(5-4{)}^2}$
BC = $\sqrt{(3-2{)}^2+(1-(-2){)}^2+(3-5{)}^2}$
AC = $\sqrt{(3-1{)}^2+(1-(-3){)}^2+(3-4{)}^2}$

AB = $\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$
BC = $\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$
AC = $\sqrt{4+36+1}=\sqrt{41}$

2. Нахождение значений косинусов углов треугольника ABC:
cos A = $\frac{B{C}^2+A{C}^2-A{B}^2}{2\cdot BC\cdot AC}$
cos B = $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$
cos C = $\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}$

cos A = $\frac{14+41-3}{2\cdot \sqrt{14}\cdot \sqrt{41}}$
cos B = $\frac{3+41-14}{2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{41}}$
cos C = $\frac{3+14-41}{2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{14}}$

cos A = $\frac{52}{2\cdot \sqrt{14}\cdot \sqrt{41}}=\frac{26}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{41}}=\frac{26}{\sqrt{14\cdot 41}}$
cos B = $\frac{30}{2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{41}}=\frac{15}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{41}}=\frac{15}{\sqrt{3\cdot 41}}$
cos C = $\frac{-24}{2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{14}}=\frac{-12}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{14}}=\frac{-12}{\sqrt{3\cdot 14}}$

3. Определение типа треугольника:
Теперь давайте определим тип треугольника:
- Если cos A > 0, cos B > 0, cos C > 0, то треугольник ABC является остроугольным.
- Если cos A = 0, cos B = 0, cos C = 0, то треугольник ABC является прямоугольным.
- Если cos A < 0, cos B < 0, cos C < 0, то треугольник ABC является тупоугольным.

Теперь мы можем подставить вычисленные значения косинусов углов и определить тип треугольника:

cos A = $\frac{26}{\sqrt{14\cdot 41}}$, cos B = $\frac{15}{\sqrt{3\cdot 41}}$, cos C = $\frac{-12}{\sqrt{3\cdot 14}}$

Подставляя значения в условие:

cos A > 0: $\frac{26}{\sqrt{14\cdot 41}}>0$ - верно
cos B > 0: $\frac{15}{\sqrt{3\cdot 41}}>0$ - верно
cos C > 0: $\frac{-12}{\sqrt{3\cdot 14}}>0$ - неверно

Таким образом, треугольник ABC является остроугольным, так как значения косинусов всех его углов положительны.