Які є значення косинусів кутів трикутника АВС і який тип цього трикутника, якщо координати точок А(1;−3;4),В(2;−2;5),С

Чтобы найти значения косинусов углов треугольника ABC и определить тип треугольника, нам необходимо вычислить длины сторон треугольника и затем применить формулу для вычисления косинуса угла.

1. Вычисление длины сторон треугольника ABC:
Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Вычислим длины сторон AB, BC и AC:

Длина AB:
\[AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-2 - (-3))^2 + (5 - 4)^2}\]

Длина BC:
\[BC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - (-2))^2 + (3 - 5)^2}\]

Длина AC:
\[AC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - (-3))^2 + (3 - 4)^2}\]

2. Найдем значения косинусов углов треугольника ABC:
Для этого мы можем использовать теорему косинусов:
\[cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]
\[cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]
\[cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

Вычислим значения косинусов углов A, B и C, используя стороны треугольника ABC, которые мы вычислили ранее:

\[cos A = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC}\]
\[cos B = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}\]
\[cos C = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}\]

3. Определение типа треугольника:
- Если все три косинуса углов положительны (cos A > 0, cos B > 0, cos C > 0), то треугольник ABC является остроугольным.
- Если один из косинусов углов равен нулю (cos A = 0, cos B = 0, cos C = 0), то треугольник ABC является прямоугольным.
- Если один из косинусов углов отрицателен (cos A < 0, cos B < 0, cos C < 0), то треугольник ABC является тупоугольным.

Теперь давайте посчитаем значения косинусов углов и определим тип треугольника:

1. Вычисление длины сторон треугольника ABC:
AB = \(\sqrt{(2 - 1)^2 + (-2 - (-3))^2 + (5 - 4)^2}\)
BC = \(\sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - (-2))^2 + (3 - 5)^2}\)
AC = \(\sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - (-3))^2 + (3 - 4)^2}\)

AB = \(\sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\)
BC = \(\sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}\)
AC = \(\sqrt{4 + 36 + 1} = \sqrt{41}\)

2. Нахождение значений косинусов углов треугольника ABC:
cos A = \(\frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC}\)
cos B = \(\frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}\)
cos C = \(\frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}\)

cos A = \(\frac{14 + 41 - 3}{2 \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{41}}\)
cos B = \(\frac{3 + 41 - 14}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{41}}\)
cos C = \(\frac{3 + 14 - 41}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{14}}\)

cos A = \(\frac{52}{2 \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{41}} = \frac{26}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{41}} = \frac{26}{\sqrt{14 \cdot 41}}\)
cos B = \(\frac{30}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{41}} = \frac{15}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{41}} = \frac{15}{\sqrt{3 \cdot 41}}\)
cos C = \(\frac{-24}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-12}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-12}{\sqrt{3 \cdot 14}}\)

3. Определение типа треугольника:
Теперь давайте определим тип треугольника:
- Если cos A > 0, cos B > 0, cos C > 0, то треугольник ABC является остроугольным.
- Если cos A = 0, cos B = 0, cos C = 0, то треугольник ABC является прямоугольным.
- Если cos A < 0, cos B < 0, cos C < 0, то треугольник ABC является тупоугольным.

Теперь мы можем подставить вычисленные значения косинусов углов и определить тип треугольника:

cos A = \(\frac{26}{\sqrt{14 \cdot 41}}\), cos B = \(\frac{15}{\sqrt{3 \cdot 41}}\), cos C = \(\frac{-12}{\sqrt{3 \cdot 14}}\)

Подставляя значения в условие:

cos A > 0: \(\frac{26}{\sqrt{14 \cdot 41}} > 0\) - верно
cos B > 0: \(\frac{15}{\sqrt{3 \cdot 41}} > 0\) - верно
cos C > 0: \(\frac{-12}{\sqrt{3 \cdot 14}} > 0\) - неверно

Таким образом, треугольник ABC является остроугольным, так как значения косинусов всех его углов положительны.