Які значення Х приводять до збільшення функції f(x) = 24x - 2x^3?

Для того чтобы найти значения \(x\), которые приводят к увеличению функции \(f(x) = 24x - 2x^3\), мы должны проанализировать поведение функции в зависимости от \(x\).

У функции \(f(x) = 24x - 2x^3\) есть два возможных случая: функция может возрастать или убывать в зависимости от значения \(x\).

Для начала, найдем производную функции \(f(x)\). Производная дает нам информацию о наклоне функции и ее возрастании/убывании.

Вычислим производную функции \(f(x)\):

\[f"(x) = 24 - 6x^2\]

Теперь мы можем проанализировать поведение функции, исследуя знак производной \(f"(x)\).

Если \(f"(x) > 0\), то это означает, что функция возрастает.
Если \(f"(x) < 0\), то это означает, что функция убывает.

Таким образом, чтобы найти значения \(x\), приводящие к увеличению функции \(f(x)\), нам нужно решить неравенство \(f"(x) > 0\).

Решим неравенство:

\[24 - 6x^2 > 0\]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[6x^2 - 24 > 0\]

Разделим обе части неравенства на 6:

\[x^2 - 4 > 0\]

Факторизуем:

\((x - 2)(x + 2) > 0\)

Теперь мы можем проанализировать знак выражения \((x - 2)(x + 2)\) для различных значений \(x\).

1. Если \(x > 2\), то оба множителя \((x - 2)\) и \((x + 2)\) будут положительными, а значит, произведение будет положительным.
2. Если \(x < -2\), то оба множителя будут отрицательными, и произведение будет снова положительным.
3. Если \(-2 < x < 2\), то множитель \((x - 2)\) будет отрицательным, а \((x + 2)\) положительным. Произведение отрицательное.
4. Если \(x = 2\) или \(x = -2\), то один из множителей будет равен нулю, а произведение будет равно нулю.

Таким образом, значения \(x\), при которых функция \(f(x)\) увеличивается, это \(x > 2\) и \(x < -2\).

Можно представить это на числовой прямой:

\[
\begin{array}{ccccccc}
& \ldots & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\
& - & 0 & + & + & + & + & 0 & - \\
\end{array}
\]

Таким образом, \(x > 2\) и \(x < -2\) представляют интервалы, на которых функция \(f(x)\) будет возрастать.

Я надеюсь, что это объяснение помогло вам понять, какие значения \(x\) приводят к увеличению функции \(f(x) = 24x - 2x^3\). Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задайте их!