Які значення довжини відрізка MD, якщо на стороні BC квадрата ABCD позначено точку M так, що кут DAM дорівнює 60°

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах треугольников и квадратов. Давайте разберемся пошагово.

1. Нарисуем данную фигуру. У нас есть квадрат ABCD со стороной AB длиной \( x \). Мы также имеем точку M на стороне BC и угол DAM, который равен 60°.

2. Заметим, что AD и AM - это две стороны треугольника ADM, а DM - это третья сторона. Основным свойством треугольника является то, что сумма длин любых двух его сторон всегда больше третьей стороны. То есть AD + AM > DM, AM + DM > AD и AD + DM > AM.

3. Посмотрим на треугольник ADM. Угол DAM равен 60°, а угол ADM - это прямой угол (равный 90°), так как он образуется внутри квадрата. Таким образом, треугольник ADM является прямоугольным.

4. Можем применить теорему Пифагора к треугольнику ADM. Согласно этой теореме, сумма квадратов длин катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, это можно записать как \( AD^2 + DM^2 = AM^2 \).

5. Найдем значения катетов треугольника ADM.
- Катет AD соответствует одной из сторон квадрата ABCD и равен \( x \).
- Катет DM - это искомая длина вектора MD, которую мы хотим найти. Обозначим ее как \( d \).

6. Подставим значения катетов в уравнение теоремы Пифагора:
\( x^2 + d^2 = AM^2 \).

7. Осталось найти значение AM. Для этого обратимся к треугольнику DAM, в котором известны угол DAM (60°) и длина стороны AD (x).
- Обратимся к правилу синусов для нахождения стороны AM: \(\frac{AM}{\sin{60°}} = \frac{AD}{\sin{(90° - 60°)}}\).
- Сокращаем дробь и заменяем значения: \(\frac{AM}{\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \frac{x}{\frac{1}{2}}\).
- Приведем к общему знаменателю: \(AM = \frac{x \sqrt{3}}{2}\).

8. Подставим значение AM в уравнение из пункта 6:
\(x^2 + d^2 = \left(\frac{x \sqrt{3}}{2}\right)^2\).

9. Приведем это уравнение к более простому виду и решим его.
\(x^2 + d^2 = \frac{3x^2}{4}\).
\(d^2 = \frac{3x^2}{4} - x^2\).
\(d^2 = \frac{x^2}{4}\).
\(d = \frac{x}{2}\) или \(d = -\frac{x}{2}\).

10. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, мы отбрасываем второй вариант решения. Итак, получаем \(d = \frac{x}{2}\).

Ответ: значением длины вектора MD будет \(\frac{x}{2}\).