Які значення дорівнюють виразу x1^2+x2^2 для коренів рівняння х^2-12х+13=0?

Хорошо! Давайте решим эту задачу вместе.

Имеется квадратное уравнение \(x^2 - 12x + 13 = 0\). Мы хотим найти значения выражения \(x_1^2 + x_2^2\), где \(x_1\) и \(x_2\) - это корни этого уравнения.

Для начала найдем корни уравнения. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти их. Дискриминант \(D\) можно найти по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае \(a = 1\), \(b = -12\) и \(c = 13\). Подставив значения в формулу дискриминанта, получим:
\[D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 144 - 52 = 92\]

Значение дискриминанта \(D\) равно 92. Теперь давайте рассмотрим несколько случаев в зависимости от значения дискриминанта:

1) Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня.
2) Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень кратности два.
3) Если \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней.

В нашем случае \(D = 92\), следовательно, уравнение имеет два различных вещественных корня.

Теперь найдем значения корней. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Заметим, что в нашем случае \(a = 1\), \(b = -12\) и \(D = 92\). Подставим эти значения в формулу и вычислим корни:

\[x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{92}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + \sqrt{92}}{2} = 6 + \frac{\sqrt{92}}{2}\]
\[x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{92}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - \sqrt{92}}{2} = 6 - \frac{\sqrt{92}}{2}\]

Теперь, чтобы найти значения выражения \(x_1^2 + x_2^2\), подставим выражения для \(x_1\) и \(x_2\):
\[x_1^2 + x_2^2 = \left(6 + \frac{\sqrt{92}}{2}\right)^2 + \left(6 - \frac{\sqrt{92}}{2}\right)^2\]

Давайте посчитаем это выражение:
\[x_1^2 + x_2^2 = \left(6 + \frac{\sqrt{92}}{2}\right)^2 + \left(6 - \frac{\sqrt{92}}{2}\right)^2 = 36 + 6\sqrt{92} + \frac{92}{4} + 36 - 6\sqrt{92} + \frac{92}{4}\]

Упростим эту сумму:
\[x_1^2 + x_2^2 = 72 + 23 = 95\]

Значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\) равно 95.

Итак, мы получили, что значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\) для корней уравнения \(x^2 - 12x + 13 = 0\) равно 95.

Если у вас еще остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!