Які суму периметрів двох подібних многокутників, якщо вона дорівнює 84 см? І яке відношення їх відповідних діагоналей

Добре! Для розв"язання цієї задачі, нам необхідно знати визначення подібних многокутників.

Многокутники називаються подібними, якщо всі відповідні кути в них рівні, і відношення довжин відповідних сторін - однакове.

Оскільки в цій задачі подібність задана за допомогою відношення діагоналей, ми знаємо, що воно дорівнює 9:5.

Тепер, враховуючи, що периметр - це сума всіх сторін многокутника, ми можемо побудувати рівняння для периметрів цих многокутників.

Позначимо периметр першого многокутника як \(P_1\) і периметр другого многокутника як \(P_2\). За визначенням подібних многокутників, відношення периметрів повинно дорівнювати відношенню діагоналей:

\[\frac{{P_1}}{{P_2}} = \frac{{9}}{{5}}\]

Так як відомо, що сума периметрів дорівнює 84 см, ми можемо побудувати друге рівняння:

\[P_1 + P_2 = 84\]

Тепер ми маємо систему з двох рівнянь з двома невідомими. Виберемо одне з рівнянь та розв"яжемо його відносно однієї з невідомих, а потім підставимо це значення в друге рівняння.

Спробуємо розв"язати перше рівняння відносно \(P_1\):

\[\frac{{P_1}}{{P_2}} = \frac{{9}}{{5}}\]

Перепишемо його у вигляді:

\[P_1 = \frac{{9}}{{5}} \cdot P_2\]

Тепер підставимо отримане значення \(P_1\) у друге рівняння:

\[\frac{{9}}{{5}} \cdot P_2 + P_2 = 84\]

Просумуємо дроби:

\[\frac{{14}}{{5}} \cdot P_2 = 84\]

Тепер помножимо обидві сторони на \(\frac{{5}}{{14}}\), щоб виразити \(P_2\):

\[P_2 = \frac{{84}}{{\frac{{14}}{{5}}}}\]

Зведемо дріб до простої дробі:

\[P_2 = \frac{{84}}{{\frac{{14}}{{5}}}} = \frac{{84}}{{1}} \cdot \frac{{5}}{{14}} = 6 \cdot 5 = 30\]

Тепер підставимо значення \(P_2\) в перше рівняння, щоб знайти \(P_1\):

\[P_1 = \frac{{9}}{{5}} \cdot P_2 = \frac{{9}}{{5}} \cdot 30 = 54\]

Отже, периметр першого многокутника \(P_1\) дорівнює 54 см, а периметр другого многокутника \(P_2\) дорівнює 30 см.

Досягнуто мету! Ми знайшли периметри цих многокутників.