Какой из отрезков, на которые делит среднюю линию трапеции одна из ее диагоналей, является наибольшим, если основания

Для решения этой задачи, нам необходимо рассмотреть, какую из диагоналей трапеции мы выберем для деления средней линии. Для начала, определим, что такое средняя линия трапеции.

Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины двух боковых сторон трапеции. В данной задаче, мы знаем, что основания трапеции равны 15. Пусть \(AB\) и \(CD\) - это основания трапеции.

Так же, нам дано, что одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Пусть \(EF\) - это средняя линия, а \(EG\) и \(GF\) - это отрезки, на которые она делится.

Для решения задачи, нам потребуется знание о свойствах подобных треугольников. Если мы построим два подобных треугольника, то их соответствующие стороны будут пропорциональны.

Теперь, посмотрим на треугольники \(CEG\) и \(DFG\). Оба треугольника имеют общую вершину \(G\). Таким образом, эти треугольники подобны.

Теперь рассмотрим пропорциональность сторон:
\[
\frac{{CE}}{{DF}} = \frac{{EG}}{{GF}}
\]

Мы знаем, что треугольник \(CEG\) подобен треугольнику \(DFG\), поэтому можно записать:
\[
\frac{{CE}}{{DF}} = \frac{{EG}}{{GF}} = \frac{{CG}}{{DG}}
\]

Так как \(EG + GF = EF\) (так как средняя линия трапеции делится на \(EG\) и \(GF\)), заменим \(EF\) на \(EG + GF\):
\[
\frac{{CE}}{{DF}} = \frac{{EG}}{{EG+GF}} = \frac{{CG}}{{DG}}
\]

Теперь, чтобы определить, какой именно отрезок является наибольшим, мы можем сравнить их длину. Так как нам даны основания трапеции равные 15, третьим основанием будет средняя линия трапеции. Обозначим третье основание как \(BC\), и его длину как \(x\).

Тогда, длина каждого из отрезков \(EG\) и \(GF\) будет равна \((BC - x)/2\).

Подставим эти значения в пропорцию и рассчитаем относительные длины отрезков:
\[
\frac{{CE}}{{DF}} = \frac{{EG}}{{EG+GF}} = \frac{{CG}}{{DG}}
\]
\[
\frac{{15 - x}}{{15}} = \frac{{\frac{{15 - x}}{2}}}{{\frac{{15 - x}{2}} + \frac{{15 - x}{2}}}}
\]
\[
\frac{{15 - x}}{{15}} = \frac{{\frac{{15 - x}{2}}}{{2(15 - x)}}}
\]
\[
\frac{{15 - x}}{{15}} = \frac{1}{2}
\]

Теперь решим полученное уравнение:
\[
15 - x = \frac{{15}}{2}
\]
\[
x = 15 - \frac{{15}}{2}
\]
\[
x = \frac{{15}}{2}
\]

Таким образом, длина отрезка \(BC\) равна \(\frac{{15}}{2}\), а длина каждого из отрезков \(EG\) и \(GF\) равна \(\frac{{15 - \frac{{15}}{2}}}{2}\).

Чтобы определить, какой отрезок является наибольшим, сравним их длины:
\[
EG = GF = \frac{{15 - \frac{{15}}{2}}}{2}
\]

В результате, мы видим, что отрезки \(EG\) и \(GF\) равны между собой. Получается, что если одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию, то полученные отрезки будут равны.

Итак, ответ на задачу: ни один из отрезков \(EG\) или \(GF\) не является наибольшим, так как они равны между собой при делении средней линии трапеции одной из ее диагоналей.