Які є стосунки між сторонами правильного трикутника, вписаного в коло, та сторонами правильного трикутника, описаного

Ставлячи правильний трикутник всередину круга так, щоб усі його вершини лежали на околі, і описуючи круг навколо правильного трикутника таким чином, щоб крайні точки круга лежали на вершинах трикутника, ми можемо дослідити залежності між сторонами обох трикутників.

Нехай сторона правильного трикутника, який описаний навколо кола, буде \(a\), а сторона трикутника, який вписаний в цей круг, буде \(b\). Наша мета полягає в тому, щоб знайти залежність між \(a\) і \(b\).

Спочатку розглянемо сторону трикутника, який описаний навколо кола. У такому трикутнику, сторона є діаметром кола, яке проходить через протилежні вершини трикутника. Тому, у правильному трикутнику, діаметр кола дорівнює довжині сторони. Отже, \(a\) буде дорівнювати діаметру кола.

Тепер розглянемо сторону трикутника, який вписаний в коло. У такому трикутнику, трикутник вписаний таким чином, щоб його сторони торкалися кола у точках дотику. Отже, сторона трикутника завжди буде паралельна і перпендикулярна до відповідної сторони описаного трикутника.

За допомогою геометричних властивостей правильного трикутника і кола, можна показати, що бісектриси всіх кутів вписаного трикутника перетинаються в одній точці, яку називають центром кола, описаного навколо трикутника. Це означає, що відрізок, який з"єднує центр описаного кола з точкою дотику до відповідної сторони вписаного трикутника, є бісектрисою кута вписаного трикутника.

Таким чином, отримуємо, що бісектриса кута вписаного трикутника є відрізком, який з"єднує центр описаного кола з серединою відповідної сторони описаного трикутника. Отже, бісектриса ділить сторону трикутника на дві рівні частини.

З усього вищезазначеного випливає, що сторона вписаного трикутника \(b\) дорівнює половині сторони описаного трикутника \(a\). Математично це можна виразити таким рівнянням: \(\frac{b}{a} = \frac{1}{2}\).

Отже, між сторонами правильного трикутника, вписаного в круг, та сторонами правильного трикутника, описаного навколо цього кола, існує наступна залежність: \(b = \frac{a}{2}\).