Какова площадь боковой стороны наклонной треугольной призмы, если все ее ребра равны 4 см и боковое ребро составляет

У нас есть треугольная призма, у которой все ребра равны 4 см и боковое ребро составляет углы по 30° с ребрами оснований. Чтобы найти площадь боковой стороны призмы, мы можем разбить ее на два треугольника и прямоугольник в основании.

Давайте начнем с расчета высоты треугольников нашей призмы. Мы знаем, что угол между боковым ребром и ребром основания составляет 30°. Так как треугольник является прямоугольным, мы можем применить тригонометрическую функцию тангенса для нахождения высоты треугольника. Формула для тангенса тригонометрической функции имеет вид:

\[\tan(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}\]

В нашем случае, у нас есть угол 30° и противолежащий катет равен длине бокового ребра, а прилежащий катет равен половине длины основания, так как мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник. Подставляя данные значения в формулу, мы получаем:

\[\tan(30°) = \frac{{\text{{длина бокового ребра}}}}{{\frac{{\text{{длина основания}}}}{2}}}\]

Решая это уравнение, мы найдем высоту треугольника:

\[\text{{высота треугольника}} = \frac{{\text{{длина бокового ребра}}}}{{\tan(30°)}}\]

Подставляя значение длины бокового ребра (4 см) в уравнение, мы получаем:

\[\text{{высота треугольника}} = \frac{{4}}{{\tan(30°)}}\]

Поскольку тангенс 30° равен \(\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}\), мы можем упростить выражение:

\[\text{{высота треугольника}} = \frac{{4}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}}} = \frac{{4 \cdot 3}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{12}}{{\sqrt{3}}}\]

Теперь у нас есть значения высоты треугольника. Как я уже упомянул, мы можем разбить боковую сторону призмы на два треугольника и прямоугольник. Каждый треугольник будет иметь площадь, равную половине площади прямоугольного треугольника, а прямоугольник будет иметь площадь, равную произведению длины основания и высоты треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу:

\[\text{{площадь}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot \text{{основание}} \cdot \text{{высота}}\]

Подставляя значения длины основания (4 см) и высоты треугольника \(\frac{{12}}{{\sqrt{3}}}\) в формулу, мы получаем:

\[\text{{площадь прямоугольного треугольника}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot 4 \cdot \frac{{12}}{{\sqrt{3}}}\]

Далее, наш прямоугольник в основании будет иметь площадь, равную произведению длины основания (4 см) и ширины основания, которая также равна 4 см:

\[\text{{площадь прямоугольника}} = 4 \cdot 4\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой стороны призмы, нам просто нужно сложить площади двух треугольников и прямоугольника:

\[\text{{площадь боковой стороны призмы}} = 2 \cdot \text{{площадь прямоугольного треугольника}} + \text{{площадь прямоугольника}}\]

Подставляя значения, мы получаем:

\[\text{{площадь боковой стороны призмы}} = 2 \left( \frac{{1}}{{2}} \cdot 4 \cdot \frac{{12}}{{\sqrt{3}}} \right) + 4 \cdot 4\]

Вычисляя это выражение, мы найдем площадь боковой стороны призмы.