Які похилі були проведені з точки до площини, якщо одна з них на 6 см довша за другу, а їх проекції складають 2корінь

Дана задача включает в себя дві похилі, які проведені з точки до площини. Розміри цих похилих пов"язані між собою у двох відношеннях: одна з них на 6 см довша за іншу, а їх проекції складають \(2\sqrt{6}\) см і \(6 + 2\sqrt{6}\) см відповідно.

Давайте назвемо першу похилу за \(A\), а другу – за \(B\). Нехай \(x\) – довжина похилої \(A\). Тоді довжина похилої \(B\) буде \(x - 6\).

Ми знаємо, що проекції цих похиліх складають \(2\sqrt{6}\) см і \(6 + 2\sqrt{6}\) см відповідно.

За теоремою Піфагора проекція похилої на площину є гіпотенузою прямокутного трикутника, в якому дві сторони є проекціями самої похилої.

Застосувавши теорему Піфагора до похилої \(A\), отримаємо:

\[\sqrt{x^2 - (2\sqrt{6})^2} = (6 + 2\sqrt{6})\]

Розкривши скобки та спрощивши вираз, отримаємо:

\[\sqrt{x^2 - 24} = 6 + 2\sqrt{6}\]

Так як квадратний корінь з обох боків рівняння скасовується, ми можемо піднести обидві частини рівняння до квадрату:

\[x^2 - 24 = (6 + 2\sqrt{6})^2\]

Розкривши скобки, отримаємо:

\[x^2 - 24 = 36 + 24\sqrt{6} + 24\]

Зведемо подібні доданки та спрощуємо:

\[x^2 - 24 = 60 + 24\sqrt{6}\]

Перенесемо всі доданки на одну сторону рівняння:

\[x^2 - 24 - 60 - 24\sqrt{6} = 0\]

Скоротимо:

\[x^2 - 84 - 24\sqrt{6} = 0\]

Наразі, ми маємо квадратне рівняння, яке можна розв"язати.

\[x^2 - 24 - 84 - 24\sqrt{6} = 0\]

\[x^2 - 108 - 24\sqrt{6} = 0\]

\[x^2 - 24\sqrt{6} - 108 = 0\]

Це квадратне рівняння вже скоро розв"яжемо!

У цьому крoці ми можемо скористатись квадратними формулами \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), де \(a\), \(b\), і \(c\) - коефіцієнти у нашому рівнянні.

У даному випадку, \(a = 1\), \(b = -24\sqrt{6}\), і \(c = -108\).

Заміняючи ці значення в формулу, ми отримуємо:

\[x = \frac{24\sqrt{6} \pm \sqrt{(-24\sqrt{6})^2 - 4(1)(-108)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{24\sqrt{6} \pm \sqrt{144 \cdot 6 + 432}}{2}\]

\[x = \frac{24\sqrt{6} \pm \sqrt{864 + 432}}{2}\]

\[x = \frac{24\sqrt{6} \pm \sqrt{1296}}{2}\]

\[x = \frac{24\sqrt{6} \pm 36}{2}\]

Тепер застосуємо формулу:

\[x_1 = \frac{24\sqrt{6} + 36}{2}\]

\[x_2 = \frac{24\sqrt{6} - 36}{2}\]

Solving for \(x_1\):

\[x_1 = \frac{24\sqrt{6} + 36}{2} = \frac{12(2\sqrt{6} + 3)}{2} = 12\sqrt{6} + 18\]

Solving for \(x_2\):

\[x_2 = \frac{24\sqrt{6} - 36}{2} = \frac{12(2\sqrt{6} - 3)}{2} = 12\sqrt{6} - 18\]

Таким чином, довжина похилої \(A\) дорівнює \(12\sqrt{6} + 18\) см, а довжина похилої \(B\) дорівнює \(12\sqrt{6} - 18\) см.