Які похилі були проведені з точки до площини, якщо одна з них на 6 см довша за другу, а їх проекції складають 2корінь

Дана задача включает в себя дві похилі, які проведені з точки до площини. Розміри цих похилих пов"язані між собою у двох відношеннях: одна з них на 6 см довша за іншу, а їх проекції складають $2\sqrt{6}$ см і $6+2\sqrt{6}$ см відповідно.

Давайте назвемо першу похилу за $A$, а другу – за $B$. Нехай $x$ – довжина похилої $A$. Тоді довжина похилої $B$ буде $x-6$.

Ми знаємо, що проекції цих похиліх складають $2\sqrt{6}$ см і $6+2\sqrt{6}$ см відповідно.

За теоремою Піфагора проекція похилої на площину є гіпотенузою прямокутного трикутника, в якому дві сторони є проекціями самої похилої.

Застосувавши теорему Піфагора до похилої $A$, отримаємо:

$$\sqrt{x^2-(2\sqrt{6}{)}^2}=(6+2\sqrt{6})$$

Розкривши скобки та спрощивши вираз, отримаємо:

$$\sqrt{x^2-24}=6+2\sqrt{6}$$

Так як квадратний корінь з обох боків рівняння скасовується, ми можемо піднести обидві частини рівняння до квадрату:

$$x^2-24=(6+2\sqrt{6}{)}^2$$

Розкривши скобки, отримаємо:

$$x^2-24=36+24\sqrt{6}+24$$

Зведемо подібні доданки та спрощуємо:

$$x^2-24=60+24\sqrt{6}$$

Перенесемо всі доданки на одну сторону рівняння:

$$x^2-24-60-24\sqrt{6}=0$$

Скоротимо:

$$x^2-84-24\sqrt{6}=0$$

Наразі, ми маємо квадратне рівняння, яке можна розв"язати.

$$x^2-24-84-24\sqrt{6}=0$$

$$x^2-108-24\sqrt{6}=0$$

$$x^2-24\sqrt{6}-108=0$$

Це квадратне рівняння вже скоро розв"яжемо!

У цьому крoці ми можемо скористатись квадратними формулами $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, де $a$, $b$, і $c$ - коефіцієнти у нашому рівнянні.

У даному випадку, $a=1$, $b=-24\sqrt{6}$, і $c=-108$.

Заміняючи ці значення в формулу, ми отримуємо:

$$x=\frac{24\sqrt{6}\pm \sqrt{(-24\sqrt{6}{)}^2-4(1)(-108)}}{2(1)}$$

$$x=\frac{24\sqrt{6}\pm \sqrt{144\cdot 6+432}}{2}$$

$$x=\frac{24\sqrt{6}\pm \sqrt{864+432}}{2}$$

$$x=\frac{24\sqrt{6}\pm \sqrt{1296}}{2}$$

$$x=\frac{24\sqrt{6}\pm 36}{2}$$

Тепер застосуємо формулу:

$$x_1=\frac{24\sqrt{6}+36}{2}$$

$$x_2=\frac{24\sqrt{6}-36}{2}$$

Solving for $x_1$:

$$x_1=\frac{24\sqrt{6}+36}{2}=\frac{12(2\sqrt{6}+3)}{2}=12\sqrt{6}+18$$

Solving for $x_2$:

$$x_2=\frac{24\sqrt{6}-36}{2}=\frac{12(2\sqrt{6}-3)}{2}=12\sqrt{6}-18$$

Таким чином, довжина похилої $A$ дорівнює $12\sqrt{6}+18$ см, а довжина похилої $B$ дорівнює $12\sqrt{6}-18$ см.