Які основи трапеції ABCD відносяться одна до одної відношенням 1:3, якщо площа трикутника BCD дорівнює 4 см2?

Щоб розв"язати цю задачу, спочатку знайдемо площу трапеції ABCD за формулою. А потім з"ясуємо, як площа трикутника BCD і прямокутника ABCD змінюється у вказаних умовах.

1. Знаходження площі трапеції ABCD:

Відомо, що основи трапеції відносяться одна до одної відношенням 1:3. Позначимо довжини основ трапеції як a і b. Тоді ми можемо записати відношення a:b = 1:3.

Площа трапеції може бути знайдена за формулою:

\[S = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h,\]

де S - площа трапеції, h - висота трапеції.

Проте, нам не відома висота трапеції. Але ми знаємо, що площа трикутника BCD дорівнює 4 см². Трикутник BCD є півтрикутником відносно трапеції ABCD. Тому його площа може бути знайдена за формулою:

\[S_{BCD} = S_{ABCD} \cdot \frac{1}{2}.\]

Підставляючи дані, отримуємо вираз:

\[4 = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h \cdot \frac{1}{2},\]

або

\[8 = (a + b) \cdot h.\]

Оскільки ми не знаємо значення висоти h, ми не можемо знайти точні значення основ трапеції a і b, але ми можемо відносно знайти, як зміниться площа трапеції при збільшенні площі трикутника BCD.

2. Зміна площі трапеції при збільшенні площі трикутника BCD в 2 рази:

Якщо площа трикутника BCD збільшиться в 2 рази, то нова площа трикутника становитиме 4 см² * 2 = 8 см².

Запишемо нове рівняння для знаходження площі трапеції ABCD:

\[8 = (a + b) \cdot h_{new}.\]

Оскільки обидві частини рівняння множимо на одне і те ж число, висота трапеції в новому прикладі буде h_{new} = 2h. Підставленням отримуємо:

\[8 = (a + b) \cdot 2h,\]

або

\[8 = 2(a + b) \cdot h.\]

Щоб знайти нову площу трапеції ABCD, помножимо обидві частини рівняння на 2, отримаємо:

\[16 = (a + b) \cdot h.\]

Отже, площа трапеції збільшилась у 2 рази, коли площа трикутника BCD збільшилась в 2 рази.

3. Знаходження розмірів прямокутника ABCD при площі 64 см²:

Площа прямокутника ABCD дорівнює 64 см². Запишемо формулу для площі прямокутника:

\[S_{ABCD} = a \cdot b,\]

де S_{ABCD} - площа прямокутника, a і b - його сторони.

Підставляючи дані в формулу, отримуємо:

\[64 = a \cdot b.\]

Щоб знайти розміри прямокутника ABCD, нам потрібно знайти значення сторін a і b, для яких їх добуток становить 64.

Зауважте, що це не єдине можливе рішення. Існує безліч комбінацій розмірів сторін, для яких a*b = 64. Отже, можливі значення розмірів прямокутника ABCD є:

a = 8 см, b = 8 см,

a = 4 см, b = 16 см,

a = 16 см, b = 4 см,

або інші комбінації, які задовольняють умову a * b = 64.

4. Зміна площі трикутника KLM при збільшенні площі прямокутника ABCD в 3 рази:

Нам передбачено збільшення площі прямокутника ABCD в 3 рази. Оскільки прямокутник ABCD є базовою фігурою для трикутника KLM, ми можемо знайти, як зміниться площа трикутника при збільшенні площі прямокутника.

Якщо площа прямокутника ABCD збільшиться в 3 рази, то його нова площа становитиме 64 см² * 3 = 192 см².

Нехай площа трикутника KLM дорівнює S_{KLM}. Запишемо рівняння для знаходження площі трикутника KLM:

\[S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD},\]

де S_{ABCD} - площа прямокутника ABCD.

Підставляючи дані, отримуємо:

\[S_{KLM} = \frac{1}{2}\cdot 192 = 96 \text{ см}^2.\]

Отже, площа трикутника KLM дорівнюватиме 96 см² при збільшенні площі прямокутника ABCD в 3 рази.

5. Знаходження розмірів паралелограма ABCD при площі 18:

Площа паралелограма ABCD дорівнює 18. Запишемо формулу для площі паралелограма:

\[S_{ABCD} = ab \cdot \sin(\theta),\]

де S_{ABCD} - площа паралелограма, a і b - його сторони, \theta - кут між сторонами a і b.

Підставляючи дані в формулу, отримуємо:

\[18 = ab \cdot \sin(\theta).\]

Знову ж таки, це не єдине можливе рішення. Існує безліч комбінацій розмірів сторін та кутів, для яких ab \cdot \sin(\theta) = 18. Враховуючи обмеження завдання та тим, що площа повинна бути 18, можливі значення розмірів паралелограма ABCD є:

Якщо ми приймемо a = 6 см і \theta = 60°, тоді через перестановку b можна отримати 18 = 6b \cdot \sin(60°) = 6b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. Розв"язавши рівняння, ми отримуємо b = \frac{2\sqrt{3}}{3} см.

Таким чином, можливі розміри паралелограма ABCD є a = 6 см і b = \frac{2\sqrt{3}}{3} см.

6. Зміна площі трикутника АВК при збільшенні площі паралелограма ABCD в 5 разів:

Нам передбачено збільшення площі паралелограма ABCD в 5 разів. Оскільки паралелограм ABCD є базовою фігурою для трикутника АВК, ми можемо знайти, як зміниться площа трикутника при збільшенні площі паралелограма.

Якщо площа паралелограма ABCD збільшиться в 5 разів, то його нова площа становитиме 18 * 5 = 90.

Нехай площа трикутника АВК дорівнює S_{АВК}. Запишемо рівняння для знаходження площі трикутника АВК:

\[S_{AВК} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD},\]

де S_{ABCD} - площа паралелограма ABCD.

Підставляючи дані, отримуємо:

\[S_{AВК} = \frac{1}{2} \cdot 90 = 45.\]

Отже, площа трикутника АВК становитиме 45, коли площа паралелограма ABCD збільшується в 5 разів.

Надіюся, що цей розгорнутий пояснювальний відповідь допоможе вам зрозуміти завдання та розв"язати його. Якщо у вас є будь-які додаткові запитання, з радістю на них відповім.