Каков периметр четырехугольника, у которого две противоположные стороны равны 9 см и 16 см, если окружность может быть

Чтобы определить периметр четырехугольника, у которого две противоположные стороны равны 9 см и 16 см, и в который можно вписать окружность, мы можем использовать свойство вписанных фигур.

Первым шагом давайте обратимся к свойству, которое утверждает, что для вписанного четырехугольника сумма противоположных сторон равна. То есть, Если \( AB \) и \( CD \) - противоположные стороны нашего четырехугольника, то \[ AB + CD = AD + BC. \]

Таким образом, если известно, что \( AB = 9 \) см и \( CD = 16 \) см, мы теперь можем написать уравнение:
\[ 9 + 16 = AD + BC \]

Для вписанного четырехугольника также известно, что сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \). Мы можем использовать это свойство, чтобы найти отсутствующие стороны \( AD \) и \( BC \).

Разделим четырехугольник на два треугольника: \( \triangle ADO \) и \( \triangle BCO \). Здесь \( O \) - центр вписанной окружности.

\[
\begin{align*}
\angle A +
\angle B +
\angle C +
\angle D &
= 360^{\circ} \quad \text{(сумма углов в четырехугольнике)} \\
\angle A +
\angle C &
= 180^{\circ} \quad \text{(сумма противоположных углов)}
\end{align*}
\]

Таким образом, \( \angle A + \angle C = 180^{\circ} \).

Также известно, что центральный угол, образованный дугой, где окружность касается стороны четырехугольника, равен половине соответствующего угла внутри четырехугольника. Поскольку у нас есть вписанный четырехугольник, угол \( A \) является вписанным углом, а центральный угол \( O \) является половиной угла \( A \). То же самое верно и для угла \( C \).

Теперь у нас есть следующие уравнения:
\[ \begin{align*}
\angle A + \angle C &= 180^{\circ} \\
\angle O &= \frac{1}{2}\angle A \\
\angle O &= \frac{1}{2}\angle C
\end{align*} \]

Таким образом, мы можем записать следующие уравнения:
\[ \begin{align*}
\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C &= 180^{\circ} \\
\angle A + \angle C &= 360^{\circ}
\end{align*} \]

Вспомним, что для треугольника сумма углов равна \( 180^{\circ} \). Поэтому:
\[ \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C = 180^{\circ} \]

Теперь заметим, что \( \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C \) представляет половину суммы углов в том четырехугольнике, который мы разделили на два треугольника. Полная сумма углов в этом четырехугольнике равна \( 360^{\circ} \), значит:
\[ \frac{1}{2} \cdot 360^{\circ} = 180^{\circ} \]

Таким образом, уравнение

\[ \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C = 180^{\circ} \]

имеет решение \( \angle A = 180^{\circ} \).

Теперь мы знаем, что \( \angle A = 180^{\circ} \) и \( \angle C = 180^{\circ} \).

Теперь мы можем представить уравнение \( 9 + 16 = AD + BC \) в виде \( AD = 9 \) и \( BC = 16 \).

Таким образом, периметр четырехугольника равен сумме всех его сторон:
\[ \text{Периметр} = AB + BC + CD + AD = 9 + 16 + 9 + 16 = 50 \, \text{см}. \]

Таким образом, периметр четырехугольника равен 50 см.