Які дві точки можна знайти на прямій, яка проходить через точки m(-5; 7; -6) і n (7; -9; 9)? Знайдіть проекцію вектора

Для решения этой задачи, нам необходимо найти уравнение прямой, проходящей через заданные точки m(-5; 7; -6) и n(7; -9; 9). Затем мы можем использовать это уравнение, чтобы найти проекцию вектора a = (1; -3; 1) на направление этой прямой.

Шаг 1: Найдем направляющий вектор прямой.

Для того чтобы найти направляющий вектор прямой, нам необходимо вычислить разность координат векторов m и n. Обозначим этот вектор как d.

d = n - m
= (7; -9; 9) - (-5; 7; -6)
= (7 + 5; -9 - 7; 9 + 6)
= (12; -16; 15)

Таким образом, направляющим вектором прямой является d = (12; -16; 15).

Шаг 2: Составим уравнение прямой.

Уравнение прямой в трехмерном пространстве можно записать в параметрической форме, где каждая координата точки на прямой выражается через параметр t:

x = -5 + 12t
y = 7 - 16t
z = -6 + 15t

Шаг 3: Найдем проекцию вектора a на направление прямой.

Проекция вектора a на направление прямой равна скалярному произведению вектора a и единичного вектора, сонаправленного с направляющим вектором прямой. Обозначим этот единичный вектор как u.

u = \frac{d}{\|d\|} = \frac{(12; -16; 15)}{\sqrt{12^2 + (-16)^2 + 15^2}}
= \frac{(12; -16; 15)}{\sqrt{144 + 256 + 225}}
= \frac{(12; -16; 15)}{\sqrt{625}}
= \frac{(12; -16; 15)}{25}
= \left(\frac{12}{25}; \frac{-16}{25}; \frac{15}{25}\right)
= \left(\frac{12}{25}; -\frac{16}{25}; \frac{3}{5}\right)

Теперь мы можем найти проекцию вектора a на направление прямой, умножив вектор a на скалярное произведение с единичным вектором u:

projection = a \cdot u
= (1; -3; 1) \cdot \left(\frac{12}{25}; -\frac{16}{25}; \frac{3}{5}\right)
= \frac{1 \cdot 12}{25} + (-3 \cdot -\frac{16}{25}) + 1 \cdot \frac{3}{5}
= \frac{12}{25} + \frac{48}{25} + \frac{3}{5}
= \frac{12 + 48 + 15}{25}
= \frac{75}{25}
= 3

Таким образом, проекция вектора a на направление прямой равна 3.

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через точки m(-5; 7; -6) и n(7; -9; 9), записывается в параметрической форме:
x = -5 + 12t
y = 7 - 16t
z = -6 + 15t

Проекция вектора a = (1; -3; 1) на направление этой прямой равна 3.