Які є довжини бічних сторін трапеції ABCD, якщо вони перетинаються в точці M? Виражено умову BC : AD = 2 : 5 і площу

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства трапеции. Для начала, давайте обозначим длину боковых сторон трапеции ABCD как $BC$ и $AD$, соответственно.

Условие задачи говорит нам, что отношение длины стороны $BC$ к длине стороны $AD$ равно 2:5, то есть $\frac{BC}{AD}=\frac{2}{5}$. Мы можем использовать это отношение, чтобы найти значение $BC$ и $AD$.

Пусть длина стороны $BC$ равна $2x$ (так как отношение равно 2:5, длина стороны $BC$ будет в два раза меньше длины стороны $AD$), а длина стороны $AD$ равна $5x$. Теперь у нас есть значения $BC$ и $AD$ в терминах переменной $x$.

Давайте теперь рассмотрим треугольник BMC. Условие задачи также говорит нам, что площадь этого треугольника равна 12 см². Мы можем использовать формулу площади треугольника, где площадь равна половине произведения длины основания на высоту:

$$\text{Площадь}=\frac{1}{2}\times \text{основание}\times \text{высота}$$

В нашем случае, основанием треугольника BMC является сторона $BC$, которая равна $2x$, а площадь равна 12 см². Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти высоту треугольника.

Подставляя известные значения в формулу площади треугольника, получаем:

$$12=\frac{1}{2}\times 2x\times {\text{высота}}_{\text{треугольника BMC}}$$

Путем упрощения мы можем получить:

$$24=2x\times {\text{высота}}_{\text{треугольника BMC}}$$

На этом этапе мы можем найти значение высоты, разделив обе части уравнения на $2x$:

$${\text{высота}}_{\text{треугольника BMC}}=\frac{24}{2x}=\frac{12}{x}$$

Теперь, когда у нас есть значение высоты треугольника BMC, мы можем использовать его, чтобы найти площадь трапеции ABCD. Формула для площади трапеции состоит из суммы площадей двух параллельных сторон, умноженной на половину высоты:

$$\text{Площадь трапеции}=\frac{1}{2}\times ({\text{основа}}_1+{\text{основа}}_2)\times \text{высота}$$

В нашем случае, основой 1 является сторона $BC$, равная $2x$, основой 2 является сторона $AD$, равная $5x$, а высотой является значение высоты треугольника BMC, равное $\frac{12}{x}$. Подставляя известные значения в формулу площади трапеции, получаем:

$$\text{Площадь трапеции}=\frac{1}{2}\times (2x+5x)\times \frac{12}{x}$$

Путем упрощения мы можем получить:

$$\text{Площадь трапеции}=\frac{7x}{2}\times \frac{12}{x}=42$$

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 42 см².