Які активності спостерігаються в зразку, що містить 1010 ядер Плутонію-239? Яка стала розпаду радіоактивного

Активності спостерігаються в радіоактивних речовинах в результаті їхнього розпаду. Активність можна визначити, вимірявши кількість розпадаючихся атомів у певний проміжок часу.

Для обчислення активності радіоактивного матеріалу, як правило, використовують формулу:

\[A = \lambda \cdot N\]

де A - активність, \(\lambda\) - константа розпаду (радіоактивний коефіцієнт), N - кількість радіоактивних ядер.

Для розпаду ядер плутонію-239 використовують формулу піврозпаду:

\[N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]

де N(t) - кількість ядер плутонію-239 після часу t, N_0 - початкова кількість ядер плутонію-239, T_{1/2} - період напіврозпаду.

В даній задачі ми знаємо, що кількість ядер плутонію-239 дорівнює 1010. Тому, використовуючи формулу піврозпаду, можна обчислити період напіврозпаду.

Задано:

\(N(t) = 1010\) (кількість ядер за час t)
\(N_0 = 1010\) (початкова кількість ядер)
\(t = t\) (час, про який питається)
\(T_{1/2} = ?\) (період напіврозпаду)

Тоді:

\(1010 = 1010 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\)

Для вирішення цього рівняння потрібно взяти логарифм за основою 2 від обох боків:

\(\log_2(1010) = \log_2(1010 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}})\)

Застосовуючи правило логарифмів, отримаємо:

\(\log_2(1010) = \log_2(1010) + \log_2\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\right)\)

За властивостю логарифма \(\log_a(x^y) = y \cdot \log_a(x)\), отримаємо:

\(\log_2(1010) = \log_2(1010) + \frac{t}{T_{1/2}} \cdot \log_2\left(\frac{1}{2}\right)\)

Враховуючи, що \(\log_2\left(\frac{1}{2}\right) = -1\), спростимо рівняння:

\(\log_2(1010) = \log_2(1010) - \frac{t}{T_{1/2}}\)

Скоротимо \(\log_2(1010)\) з обох боків:

\(0 = - \frac{t}{T_{1/2}}\)

Помножимо обидві частини на \(T_{1/2}\):

\(0 = -t\)

Отримали, що \(t = 0\). Це означає, що кількість ядер плутонію-239 не зміниться протягом життя цього зразку. Активність буде постійною.