Каково расстояние от центра шара до плоскости сечения, если объем шара равен 288π и площадь сечения равна 27π?

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать некоторые формулы и свойства. Давайте начнем с основных свойств шара.

Объем \( V \) шара можно найти с помощью формулы:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

где \( r \) - радиус шара.

Также у нас есть информация о площади сечения шара, и площадь шарового сечения может быть найдена по формуле:

\[ A = \pi r^2 \]

где \( A \) - площадь сечения шара.

Итак, задача нам говорит, что объем шара равен \( 288\pi \) и площадь сечения равна \( 27\pi \). Давайте используем эти значения и найдем радиус шара и расстояние от его центра до плоскости сечения.

1. Найдем радиус шара:
Мы знаем, что объем шара равен \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \).

Подставим известные значения:
\[ 288\pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Для удобства, давайте избавимся от \(\pi\) на обеих сторонах уравнения, разделив его:
\[ 288 = \frac{4}{3} r^3 \]

Теперь умножим обе стороны на \(\frac{3}{4}\) для избавления от дроби:
\[ 216 = r^3 \]

Чтобы найти радиус \( r \), возведем обе стороны уравнения в 1/3 степень:
\[ r = \sqrt[3]{216} = 6 \]

2. Найдем расстояние от центра шара до плоскости сечения:
Мы знаем, что площадь сечения равна \( A = \pi r^2 \).

Подставим известные значения:
\[ 27\pi = \pi r^2 \]

Снова избавимся от \(\pi\) на обеих сторонах уравнения, разделив его:
\[ 27 = r^2 \]

Чтобы найти расстояние от центра шара до плоскости сечения, возведем обе стороны уравнения в 1/2 степень:
\[ r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

Таким образом, расстояние от центра шара до плоскости сечения равно \( \boxed{3\sqrt{3}} \) единиц длины.

Я надеюсь, что этот подробный ответ помог вам понять решение задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.