Яке середнє арифметичне чотирьох чисел та яке середнє арифметичне інших шести чисел, якщо їх загальне середнє

Щоб обчислити середнє арифметичне чисел, потрібно додати всі ці числа разом і поділити на їх кількість.

Назвемо чотири числа, про які йдеться в першій частині завдання: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\). Назвемо шість чисел, про які йдеться в другій частині завдання: \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), \(b_4\), \(b_5\), \(b_6\).

За визначенням середнього арифметичного, маємо:
\[
\frac{{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}}{4} = 12.8 \quad (1)
\]
\[
\frac{{b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6}}{6} = 9.7 \quad (2)
\]

Щоб обчислити середнє арифметичне десяти чисел, потрібно додати всі ці числа разом і поділити на їх кількість. Отже:
\[
\text{{Середнє арифметичне десяти чисел}} = \frac{{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6}}{10}
\]

Тепер давайте розв"яжемо систему рівнянь, щоб знайти значення \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), \(b_4\), \(b_5\), \(b_6\).

Зараз ми маємо дві рівності (1) і (2), а також третю рівність, яку ми отримуємо, додаючи дві рівності разом:

\[
\frac{{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}}{4} + \frac{{b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6}}{6} = \frac{{(a_1 + a_2 + a_3 + a_4) + (b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6)}}{10}
\]

Скорочуючи це рівняння, отримуємо:

\[
\frac{{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}}{4} + \frac{{b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6}}{6} = \frac{{10(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6)}}{10}
\]

Далі можемо спростити рівність, помноживши обидві частини на 10:

\[
10\left(\frac{{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}}{4} + \frac{{b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6}}{6}\right) = 10\left(\frac{{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6}}{10}\right)
\]

За допомогою розподільного закону, отримаємо:

\[
\frac{{10(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)}}{4} + \frac{{10(b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6)}}{6} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6
\]

Тепер можемо спростити рівність, віднявши \((a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6)\) з обох сторін:

\[
\frac{{10(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)}}{4} + \frac{{10(b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6)}}{6} - (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6) = 0
\]

Скорочуємо та спрощуємо рівність:

\[
\frac{10}{4}(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 - (a_1 + a_2 + a_3 + a_4)) + \frac{10}{6}(b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 - (b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6)) = 0
\]

Отримуємо таке спрощене рівняння:

\[
0 = 0
\]

Отже, наше спрощене рівняння показує, що дані числа задовольняють початкові умови.

Тому, середнє арифметичне цих десяти чисел буде дорівнювати:

\[
\frac{{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6}}{10} = \frac{{12.8 + 9.7}}{2} = \frac{{22.5}}{2} = 11.25
\]

Отже, середнє арифметичне цих десяти чисел дорівнює 11.25. Вітаю!