Яка висота та довжина бічного ребра правильної чотирикутної піраміди, якщо вони становлять 3 см і 5 відповідно? Знайти

Для розв"язання даної задачі спочатку потрібно з"ясувати, яка саме піраміда мається на увазі - правильна тетраедральна піраміда.

Правильна тетраедральна піраміда має 4 рівні бічні грані трикутної форми, усі сторони яких є рівними. Таким чином, у нас є бічне ребро проміню 3 см (тобто однорідна сторона бічної грані) і довжина бічного ребра 5 см.

Оскільки піраміда є правильною, то вона має специфічну властивість. Бічні сторони трикутних граней і радіус опуклої сфери, описаної навколо піраміди, перев"язані співвідношеннями \(h = \dfrac{2}{3} \cdot r\), де \(h\) - висота піраміди і \(r\) - радіус сфери.

Обчислимо висоту піраміди:
\[h = \dfrac{2}{3} \cdot 3 \, \text{см} = 2 \, \text{см}\]

Тепер, знаючи висоту \(h\) і довжину бічного ребра \(a\), можна обчислити об"єм піраміди за формулою:
\[V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h\]
де \(S\) - площа основи піраміди.

Оскільки основу нашої піраміди становить рівносторонній трикутник, можемо розрахувати площу основи за формулою:
\[S = \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\]

Підставляємо відомі значення та обчислюємо об"єм:
\[V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 2\]

Інколи, можна прибрати під знаком додатніх чисел.
\[V = \dfrac{5^2 \cdot \sqrt{3}}{6}\]

Таким чином, об"єм цієї піраміди становить \(\dfrac{5^2 \cdot \sqrt{3}}{6} \, \text{см}^3\)