Яка висота прямокутного паралелепіпеда з площами суміжних бічних граней 20см2 і 4см2, а об ємом 20см3?

Для начала решим задачу нахождения высоты прямоугольного параллелепипеда с заданными площадями смежных боковых граней 20 см² и 4 см², а также заданным объемом 20 см³.

Пусть длины ребер параллелепипеда равны \(a\), \(b\) и \(h\) (где \(a\) и \(b\) - длины боковых ребер, а \(h\) - высота). Также известно, что площадь смежных боковых граней равна 20 см² и 4 см², что можно записать в виде уравнений:

\[2ah + 2bh = 20\] \((1)\)
\[ab = 4\] \((2)\)

Также задан объем параллелепипеда равный 20 см³:

\[V = abh = 20\] \((3)\)

Мы получили систему уравнений (1), (2) и (3), которую необходимо решить для нахождения высоты параллелепипеда \(h\).

Давайте решим эту систему уравнений:

Из уравнения (2) выразим \(b\) через \(a\):

\[b = \frac{4}{a}\]

Подставим полученное выражение в уравнения (1) и (3):

\[2ah + 2\left(\frac{4}{a}\right)h = 20\] \((4)\)
\[a\left(\frac{4}{a}\right)h = 20\] \((5)\)

Упростим уравнение (4):

\[2ah + \frac{8h}{a} = 20\]

Домножим обе части на \(a\):

\[2a^2h + 8h = 20a\]

Поделим обе части на 2:

\[a^2h + 4h = 10a\] \((6)\)

Упростим уравнение (5):

\[4h = 20\]

Разделим обе части на 4:

\[h = 5\] \((7)\)

Теперь, зная \(h = 5\) (из уравнения (7)), подставим это значение в (6):

\[a^2 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 10a\]

\[5a^2 + 20 = 10a\]

\[5a^2 - 10a + 20 = 0\]

Разделим обе части на 5:

\[a^2 - 2a + 4 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного трехчлена:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В нашем случае \(a^2 - 2a + 4 = 0\), где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 4\).

\[a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}\]

\[a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2}\]

\[a = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}\]

Квадратный корень из отрицательного числа невозможен в рамках действительных чисел, поэтому у нас нет действительных корней уравнения \(a^2 - 2a + 4 = 0\).

Мы пришли к противоречию, используя значение \(h = 5\). Это означает, что исходные условия задачи несовместны. Вероятно, в тексте задачи допущена ошибка.

Мы не можем решить задачу до ее конца, так как нет реального значения высоты параллелепипеда, удовлетворяющего всем условиям, представленным в задаче. Рекомендуется проконсультироваться с преподавателем или используйте правильные данные для продолжения задачи.