Каково отношение радиусов шара и цилиндра, если их объемы одинаковы, и при этом радиус шара равен 3/5 высоты цилиндра?

Давайте начнем с расчета объемов шара и цилиндра. Формула для объема шара: \( V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 \), где \( r \) - радиус шара. Формула для объема цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi r^2 h \), где \( r \) - радиус цилиндра, \( h \) - высота цилиндра.

Нам дано, что объемы шара и цилиндра равны, поэтому мы можем записать уравнение:

\[ \frac{4}{3}\pi r_{шара}^3 = \pi r_{цилиндра}^2 h_{цилиндра} \]

Теперь, чтобы найти отношение радиусов, нам нужно выразить один радиус через другой. Мы также знаем, что радиус шара равен \(\frac{3}{5}\) высоты цилиндра, поэтому мы можем написать:

\[ r_{шара} = \frac{3}{5}h_{цилиндра} \]

Подставим это значение в уравнение объема:

\[ \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{5}h_{цилиндра}\right)^3 = \pi r_{цилиндра}^2 h_{цилиндра} \]

Упростив это уравнение, получим:

\[ \frac{4}{3}\pi \left(\frac{27}{125}\right)h_{цилиндра}^3 = \pi r_{цилиндра}^2 h_{цилиндра} \]

Уберем \(\pi\) и приведем уравнение к более простой форме:

\[ \frac{4}{3} \cdot \frac{27}{125} \cdot h_{цилиндра}^3 = r_{цилиндра}^2 h_{цилиндра} \]

Теперь мы можем сократить некоторые выражения:

\[ \frac{108}{375} h_{цилиндра}^3 = r_{цилиндра}^2 h_{цилиндра} \]

\[ \frac{108}{375} h_{цилиндра} = r_{цилиндра}^2 \]

\[ \sqrt{\frac{108}{375} h_{цилиндра}} = r_{цилиндра} \]

\[ r_{цилиндра} = \sqrt{\frac{72}{125}} \cdot h_{цилиндра} \]

Теперь мы знаем отношение радиусов шара и цилиндра. Радиус цилиндра равен \(\sqrt{\frac{72}{125}}\) умножить на высоту цилиндра.

Мы также можем выразить отношение радиусов в виде простой десятичной дроби. Подставим значение \(\sqrt{\frac{72}{125}}\) в калькулятор и получим приближенное значение.

Таким образом, отношение радиусов шара и цилиндра равно \(\sqrt{\frac{72}{125}}\), или приблизительно 0.678.