Яка висота правильної трикутної піраміди з площею основи 27√3 см² та площею повної поверхні 72√3?

Для начала рассмотрим основу правильной треугольной пирамиды. Площадь основы дана в задаче и равна 27√3 см². Запишем это уравнение:

Площадь основы = \(\frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} = 27\sqrt{3}\)

Здесь \(a\) обозначает длину стороны треугольника. Чтобы найти эту длину, умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{\sqrt{3}}\):

\(a^2 = \frac{{27\sqrt{3} \cdot 4}}{\sqrt{3}}\)

\(a^2 = 3 \cdot 27 \cdot 4\)

\(a^2 = 216\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\(a = \sqrt{216}\)

\(a = 6\sqrt{6}\)

Таким образом, длина стороны треугольника составляет \(6\sqrt{6}\) см.

Теперь перейдем к вычислению высоты пирамиды. Дана площадь повной поверхности, которая равна 72√3 см².

Площадь поверхности пирамиды можно выразить через площадь основы и боковую площадь. Формула для этого выглядит следующим образом:

Площадь поверхности = площадь основы + площадь боковой поверхности

Зная площадь основы, который равна 27√3 см², и обозначая высоту пирамиды как \(h\), можем написать уравнение:

\(\frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} + \frac{{a \cdot c \cdot 3}}{2} = 72\sqrt{3}\)

Здесь \(c\) обозначает длину боковой грани пирамиды. Мы уже нашли длину стороны основы пирамиды \(a\) (6√6), поэтому заменим \(a\) в уравнении.

\(\frac{{(6\sqrt{6})^2 \sqrt{3}}}{4} + \frac{{6\sqrt{6} \cdot c \cdot 3}}{2} = 72\sqrt{3}\)

Упростим уравнение:

\(\frac{{108\sqrt{6}}}{4} + \frac{{18\sqrt{6}c}}{2} = 72\sqrt{3}\)

\(\frac{{27\sqrt{6}}}{1} + 9\sqrt{6}c = 72\sqrt{3}\)

Теперь можно решить уравнение относительно \(c\):

\(9\sqrt{6}c = 72\sqrt{3} - 27\sqrt{6}\)

\(c = \frac{{72\sqrt{3} - 27\sqrt{6}}}{9\sqrt{6}}\)

\(c = \frac{{8\sqrt{3} - 3\sqrt{6}}}{\sqrt{6}}\)

Упростим выражение:

\(c = \frac{{(8\sqrt{3} - 3\sqrt{6}) \cdot \sqrt{6}}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}\)

\(c = \frac{{8\sqrt{18} - 3\sqrt{36}}}{6}\)

\(c = \frac{{8\sqrt{3} - 3\cdot6}}{6}\)

\(c = \frac{{8\sqrt{3} - 18}}{6}\)

\(c = \frac{{2(4\sqrt{3} - 9)}}{6}\)

\(c = \frac{{4\sqrt{3} - 9}}{3}\)

Таким образом, длина боковой грани пирамиды составляет \(\frac{{4\sqrt{3} - 9}}{3}\) см.

Осталось найти высоту пирамиды \(h\). Для этого можно использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного стороной основы и половиной боковой грани:

\(h^2 = a^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2\)

\(h^2 = (6\sqrt{6})^2 - \left(\frac{{4\sqrt{3} - 9}}{3} \cdot \frac{1}{2}\right)^2\)

\(h^2 = 216 - \left(\frac{{2\sqrt{12} - 9}}{3}\right)^2\)

\(h^2 = 216 - \left(\frac{{2\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} - 9}}{3}\right)^2\)

\(h^2 = 216 - \left(\frac{{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} - 9}}{3}\right)^2\)

\(h^2 = 216 - \left(\frac{{4 \sqrt{3} - 9}}{3}\right)^2\)

Упростим это выражение:

\(h^2 = 216 - \frac{{(4\sqrt{3} - 9)^2}}{9}\)

\(h^2 = 216 - \frac{{16 \cdot 3 - 72\sqrt{3} + 81}}{9}\)

\(h^2 = 216 - \frac{{48 - 72\sqrt{3} + 81}}{9}\)

\(h^2 = 216 - \frac{{129 - 72\sqrt{3}}}{9}\)

\(h^2 = 216 - \frac{{(216 - 129) + 72\sqrt{3}}}{9}\)

\(h^2 = 216 - \frac{{87 + 72\sqrt{3}}}{9}\)

\(h^2 = 216 - \frac{{9(87 + 72\sqrt{3})}}{9}\)

\(h^2 = 216 - 87 - 72\sqrt{3}\)

\(h^2 = 129 - 72\sqrt{3}\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\(h = \sqrt{129 - 72\sqrt{3}}\)

Таким образом, высота пирамиды составляет примерно \(\sqrt{129 - 72\sqrt{3}}\) см (в точности так как в задаче даны значения через уравнение квадратного корня).