Найдите точки К и Е на сторонах параллелограмма ABCD таким образом, чтобы угол АКС равнялся углу АЕС (см. рисунок

Чтобы найти точки К и Е на сторонах параллелограмма ABCD таким образом, чтобы угол АКС равнялся углу АЕС, нужно провести диагонали параллелограмма.

Докажем, что AKCE - параллелограмм.

1. Проведем диагональ BD (см. рисунок 8). Пусть точка пересечения диагоналей параллелограмма будет точкой М. Тогда получим следующее:

AD || BC, так как ABCD - параллелограмм.
AB || DC, так как ABCD - параллелограмм.

2. Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны. То есть AB = DC и AD = BC.

3. Также из свойств параллелограмма следует, что противоположные углы равны.

4. Так как AB || DC и AD || BC, то угол BMK будет равен углу DMC, так как они являются соответственными углами.

5. Аналогично угол AKC будет равен углу AKB.

6. Так как AK и BC являются продолжениями сторон параллелограмма, то угол AKC будет равен углу AKB, так как это вертикальные углы.

7. Угол К не зависит от положения точки К на стороне BC, поэтому можно выбрать любую точку К на стороне BC, чтобы угол AKС равнялся углу АЕС.

8. Проведем прямую, параллельную АЕ и проходящую через точку К. Пусть эта прямая пересекается с продолжением стороны CD в точке F.

9. Как мы видим из рисунка 8, угол AFМ будет равен углу АЕС, так как они являются вертикальными углами.

10. Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны. То есть AF = DM и MF = FC.

11. Проведем прямую, параллельную АК и проходящую через точку Е. Пусть эта прямая пересекается с продолжением стороны AB в точке G.

12. Аналогично, угол АЕG будет равен углу AFМ.

13. Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны. То есть AG = DF и EG = GC.

14. Таким образом, у нас есть четыре равных отрезка: AF = DM, MF = FC, AG = DF и EG = GC.

15. Из данных равенств следует, что AKCE - параллелограмм, так как противоположные стороны равны и одна пара противоположных углов равна.

Таким образом, мы доказали, что AKCE - параллелограмм при условии, что угол АКС равняется углу АЕС.