Яка відповідність між відстанню, пройденою кінцем крила бджоли відносно її тіла, і відстанню, пролетілою бджолою

Для розв"язання цієї задачі спочатку розглянемо, як коливається кінець крила бджоли відносно її тіла. Така коливальна система може бути описана гармонічним рухом.

За умовою задачі, коливання крила мають частоту 300 Гц і амплітуду 5 мм. Частота гармонічного руху визначається формулою:

\[f = \frac{1}{T},\]

де \(f\) - частота, \(T\) - період коливань. Тому період коливань коліна крила можна знайти, обернувши дану частоту:

\[T = \frac{1}{f} = \frac{1}{300} \, \text{с}.\]

Амплітуда коливань - це максимальне відхилення від положення рівноваги. У нашому випадку амплітуда дорівнює 5 мм.

Зберімо інформацію про середню швидкість польоту бджоли, яка становить 8 м/с. Ця швидкість відноситься до польоту бджоли в горизонтальному напрямку.

Задача полягає в знаходженні відповідності між відстанню, пройденою кінцем крила бджоли відносно її тіла, і відстанню, пролетілою бджолою відносно поверхні землі за той самий час.

Оскільки кінець крила рухається відносно тіла бджоли прямолінійно, то відстань, пройдену кінцем крила, можна обчислити як добуток амплітуди на максимальне відстання пройдене кінцем крила відносно тіла бджоли.

\[D = A \cdot D",\]

де \(D\) - відстань, пройдена кінцем крила бджоли, \(A\) - амплітуда коливань крила, а \(D"\) - максимальна відстань, пройдена кінцем крила відносно тіла бджоли.

Оскільки при гармонічному русі максимальна відстань, пройдена точкою на кінці крила відносно тіла бджоли, дорівнює амплітуді, то \(D" = A\).

Тому відстань, пройдену кінцем крила бджоли, можна обчислити як добуток амплітуди на амплітуду:

\[D = A \cdot A = A^2.\]

Тепер нам потрібно знайти час, за який бджола пролітає відстань, рівну \(D\).

Шлях, пройдений тілом з прямолінійним рухом зі сталою швидкістю, можна обчислити, помноживши швидкість на час:

\[L = v \cdot t,\]

де \(L\) - пройдений шлях, \(v\) - швидкість, \(t\) - час.

Так як у нас задана середня швидкість польоту бджоли, можна вважати, що швидкість є сталою.

Тому шлях, пролетілий бджолою за час, рівний періоду коливань крила, можна записати як:

\[L = v \cdot T.\]

Отримані вирази для відстаней \(D\) і \(L\) дорівнюють один одному, тому:

\[A^2 = v \cdot T.\]

Підставивши дані з умови задачі:

\[5^2 = 8 \cdot \frac{1}{300}.\]

Знайшовши значення \(A^2\), можемо знайти значення \(A\) шляхом взяття квадратного кореня:

\[A = \sqrt{40} \, \text{мм}.\]

Таким чином, відстань, пройдена кінцем крила бджоли відносно її тіла, становить \(\sqrt{40}\) мм, а відстань, пролетіла бджола відносно поверхні землі, також становить \(\sqrt{40}\) мм