Яка швидкість розпаду радіоактивного Плутонію-238, якщо він дорівнює 2.6*10⁻¹⁰с⁻¹? Яка кількість енергії

Для решения задачи, мы можем использовать формулу, связывающую активность, количество вещества и постоянную распада радиоактивного элемента. Дано, что активность Плутония-238 составляет 2.6*10⁻¹⁰ с⁻¹.

Активность (A) равна некоторому коэффициенту (λ), умноженному на количество вещества (N) данного радиоактивного элемента:

\[ A = \lambda \cdot N \]

Так как активность равна коэффициенту распада, умноженному на количество, то:

\[ A = -\frac{dN}{dt} \]

Где dN/dt - это скорость изменения количества вещества с течением времени. Из этих двух уравнений можно получить следующие соотношения:

\[ -\frac{dN}{dt} = \lambda \cdot N \]

\[ \frac{dN}{N} = -\lambda \cdot dt \]

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, нам нужно взять интегралы от обеих сторон:

\[ \int{\frac{dN}{N}} = -\int{\lambda \cdot dt} \]

Первый интеграл даст нам логарифм от количества вещества:

\[ \ln{N} = -\lambda \cdot t + C \]

Где C - постоянная интегрирования. Теперь избавимся от логарифма, возведя обе стороны уравнения в экспоненту:

\[ N = e^{(-\lambda \cdot t + C)} \]

\[ N = C \cdot e^{-\lambda \cdot t} \]

Теперь у нас есть выражение для количества вещества в зависимости от времени. Подставим t=0 и N=N₀ (начальное количество вещества) в это уравнение:

\[ N₀ = C \cdot e^{-\lambda \cdot 0} \]

\[ C = N₀ \]

Теперь мы можем записать общую формулу для количества вещества после прошествия некоторого времени t:

\[ N = N₀ \cdot e^{-\lambda \cdot t} \]

Так как исходные данные не указывают начальное количество вещества, положим N₀ = 1 для удобства расчетов. Тогда формула для количества вещества будет иметь вид:

\[ N = e^{-\lambda \cdot t} \]

Теперь можно найти скорость распада постоянной распада радиоактивного Плутония-238. Подставим данное значение для скорости распада (\(\lambda = 2.6 \times 10^{-10} с^{-1}\)) в формулу и рассчитаем:

\[ N = e^{-(2.6 \times 10^{-10}) \cdot t} \]

Теперь, когда у нас есть формула для количества вещества, можно рассчитать количество энергии, выделяемой при распаде каждого ядра. Дано, что энергия, выделяемая при распаде каждого ядра, равна \(W_0 = 8.8 \times 10^{-13} Дж\).

Так как энергия, выделяемая при распаде каждого ядра, можно рассчитать как произведение энергии распада одного ядра на количество распадающихся ядер, то:

\[ E = W_0 \cdot N \]

\[ E = 8.8 \times 10^{-13} \cdot e^{-(2.6 \times 10^{-10}) \cdot t} \]

Теперь мы можем рассчитать количество энергии, выделяемой за 24 часа, если мы знаем массу Плутония-238 в образце. Дано, что масса Плутония-238 равна 10 мг. Мы должны учесть, что масса радиоактивного вещества уменьшается со временем, исходя из скорости распада. Для удобства расчетов, предположим, что начальная масса Плутония-238 равна 10 мг. Тогда формула для выделившейся энергии будет выглядеть так:

\[ E = 8.8 \times 10^{-13} \cdot e^{-(2.6 \times 10^{-10}) \cdot 24 \cdot 3600} \]

где 24 - количество часов, а 3600 - количество секунд в часе.

Это подробное решение позволит школьникам лучше понять задачу и применить полученные формулы для других подобных расчетов.