Яка площа ромба зі стороною 5 см, якщо сума його діагоналей дорівнює ...?

Для решения данной задачи, нам понадобится знание формулы для нахождения площади ромба. Формула для вычисления площади ромба по его диагоналям имеет вид:

\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]

где \(S\) - площадь ромба, \(d_1\) и \(d_2\) - его диагонали.

Мы уже знаем, что сумма диагоналей ромба равна определенной величине. Пусть эта величина будет обозначена как \(D\). Используя предоставленную информацию и формулу для нахождения площади ромба, мы можем записать уравнение:

\[D = d_1 + d_2\]

Для решения этого уравнения относительно \(d_1\) или \(d_2\) нам понадобится знание взаимосвязи диагоналей ромба при известной длине стороны. В ромбе диагонали делятся пополам под прямым углом. Обозначим сторону ромба как \(a\), а половину диагонали как \(r\). Тогда, с помощью теоремы Пифагора, можно записать следующее уравнение:

\[r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Упростим его:

\[r^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}\]

Далее, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[r^4 = \left(\frac{a^2}{2}\right)^2\]
\[r^4 = \frac{a^4}{4}\]

Теперь, зная связь стороны ромба с половиной диагонали, можно заменить \(a\) в уравнении суммы диагоналей \(D\) на \(2r\) и решить его:

\[D = d_1 + d_2 = 2r + 2r = 4r\]

Таким образом, у нас получилось уравнение, в котором сумма диагоналей ромба равна \(4r\). Теперь мы можем подставить это значение в формулу для площади ромба:

\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{4r \cdot 4r}{2} = \frac{16r^2}{2} = 8r^2\]

Но у нас осталось одно неизвестное - значение \(r\). Найдем его, воспользовавшись информацией о стороне ромба, которая равна 5 см. Зная связь стороны ромба с диагоналями, мы можем записать уравнение:

\[a = \sqrt{d_1^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}\]

Подставим значения для стороны ромба и диагонали \(d_2\):

\[5 = \sqrt{d_1^2 + \left(\frac{D - d_1}{2}\right)^2}\]

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[25 = d_1^2 + \left(\frac{D - d_1}{2}\right)^2\]
\[25 = d_1^2 + \frac{(D - d_1)^2}{4}\]
\[100 = 4d_1^2 + (D - d_1)^2\]
\[100 = 4d_1^2 + D^2 - 2Dd_1 + d_1^2\]
\[0 = 5d_1^2 - 2Dd_1 + D^2 - 100\]

Получилось квадратное уравнение с одной неизвестной \(d_1\). Решим его с помощью поиска дискриминанта:

\[D = (-2D)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (D^2 - 100)\]
\[D = 4D^2 - 4 \cdot 5 \cdot (D^2 - 100)\]
\[D = 4D^2 - 20D^2 + 4000\]
\[0 = -16D^2 + 4000\]
\[16D^2 = 4000\]
\[D^2 = \frac{4000}{16}\]
\[D^2 = 250\]

Вычисляем квадратный корень:

\[D = \sqrt{250}\]

Теперь, зная значение длины диагоналей ромба \(D\), можно подставить это значение в формулу для площади ромба:

\[S = 8r^2 = 8\left(\frac{D}{2}\right)^2 = 8\left(\frac{\sqrt{250}}{2}\right)^2 = 8\left(\frac{250}{4}\right) = 8 \cdot 62.5 = 500\]

Таким образом, площадь ромба со стороной 5 см и суммой диагоналей, равной \(\sqrt{250}\), равна 500 квадратных сантиметров.