Яка площа прямокутної трапеції з бічними сторонами 12 см і 13 см, якщо діагональ є бісектрисою гострого кута?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства прямоугольной трапеции. Прямоугольная трапеция - это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна и задает прямой угол. В данной задаче, биссектриса гострого угла прямоугольной трапеции является диагональю, что означает, что она делит этот угол на два равных угла.

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, нам понадобится знать ее основания и высоту. В данной задаче, боковые стороны 12 см и 13 см являются основаниями трапеции. Для нахождения высоты мы можем использовать свойство биссектрисы гострого угла.

Для начала, нам нужно найти длину диагонали, которая является биссектрисой. Мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному диагональю и половиной основания трапеции. Пусть \(d\) - длина диагонали, \(a\) - длина одного основания, в данном случае 12 см, и \(b\) - длина другого основания, в данном случае 13 см.

Применяя теорему Пифагора, получаем:

\[d^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2\]

Подставляя значения, получаем:

\[d^2 = \left(\frac{12}{2}\right)^2 + \left(\frac{13}{2}\right)^2\]
\[d^2 = 6^2 + \left(\frac{13}{2}\right)^2\]
\[d^2 = 36 + \frac{169}{4}\]
\[d^2 = \frac{144 + 169}{4}\]
\[d^2 = \frac{313}{4}\]

Чтобы найти длину диагонали \(d\), нам нужно извлечь квадратный корень из \(\frac{313}{4}\). Сократим дробь:

\[d^2 = \frac{313}{4}\]
\[d = \sqrt{\frac{313}{4}}\]
\[d = \frac{\sqrt{313}}{\sqrt{4}}\]
\[d = \frac{\sqrt{313}}{2}\]

Теперь у нас есть длина диагонали \(d\), которая является высотой прямоугольной трапеции. Для нахождения площади, мы можем использовать формулу:

\[S = \frac{(a + b) \cdot d}{2}\]

Подставляем значения:

\[S = \frac{(12 + 13) \cdot \frac{\sqrt{313}}{2}}{2}\]
\[S = \frac{25 \cdot \sqrt{313}}{4}\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна \(\frac{25 \cdot \sqrt{313}}{4}\) квадратных сантиметров.