Яка є площа повної поверхні прямої призми з основою у вигляді рівнобедреного трикутника з кутом 120˚ при вершині

Щоб знайти площу повної поверхні прямої призми з рівнобедреним основою у вигляді трикутника, нам потрібно знайти площу бокової поверхні трикутника і площу двох основ прямокутної призми.

Спочатку знайдемо площу бокової поверхні трикутника. Ми знаємо, що діагональ бічної грані, що містить бічну сторону рівнобедреного трикутника, утворює з площиною основи кут 45˚. Оскільки внутрішній кут рівнобедреного трикутника при вершині дорівнює 120˚, то кут між бічною стороною трикутника і площиною основи також дорівнює 120˚. Отже, ми можемо утворити прямокутний трикутник зі сторонами, які є половиною бічної сторони трикутника і половиною діагоналі, яка утворює кут 45˚ з площиною основи. Так як сторона трикутника рівна радіусу описаного кола, то ми маємо значення сторони трикутника рівне 4 см. Застосуємо теорему Піфагора, щоб знайти довжину другої сторони трикутника:

\[ a^2 = c^2 - b^2 \]
\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]
\[ b = \sqrt{4^2 - 2^2} \]
\[ b = \sqrt{16 - 4} \]
\[ b = \sqrt{12} \]
\[ b = 2\sqrt{3} \,см \]

Отже, ми знайшли довжину другої сторони трикутника, яка дорівнює \(2\sqrt{3}\) см.

Тепер, ми можемо знайти площу бокової поверхні трикутника за формулою:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times b \]
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3} \]
\[ S_{\text{бок}} = 4\sqrt{3} \,см^2 \]

Далі, ми повинні знайти площу основи трикутника. Рівнобедрений трикутник з кутом при вершині 120˚ має основу, яка також є рівнобедреною і розташована у вигляді рівностороннього трикутника. Оскільки радіус описаного кола цього трикутника дорівнює 4 см, то довжина сторони рівностороннього трикутника також дорівнює 4 см. Площа основи трикутника може бути знайдена за формулою:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \]
\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 \]
\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 \]
\[ S_{\text{осн}} = 4\sqrt{3} \,см^2 \]

Площа повної поверхні прямої призми може бути знайдена додаванням площі бокової поверхні до двох площ основи:

\[ S_{\text{повн}} = S_{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{осн}} \]
\[ S_{\text{повн}} = 4\sqrt{3} + 2 \times 4\sqrt{3} \]
\[ S_{\text{повн}} = 4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} \]
\[ S_{\text{повн}} = 12\sqrt{3} \,см^2 \]

Таким чином, площа повної поверхні прямої призми з основою у вигляді рівнобедреного трикутника з кутом 120˚ при вершині і радіусом описаного кола 4 см дорівнює \(12\sqrt{3}\) квадратних сантиметрів.