Яка площа повної поверхні конуса, якщо висота конуса дорівнює 4√5, а відстань від центра основи до середини твірної

Для решения данной задачи нам понадобятся основные формулы, связанные с поверхностью конуса. Давайте начнем с определения поверхности конуса.

Поверхность конуса состоит из двух частей: основной поверхности и боковой поверхности. Основная поверхность - это круглое основание конуса, а боковая поверхность - это образующая конуса, соединяющая вершину конуса с точками основания.

Формула для нахождения площади основной поверхности конуса:
\[S_{\text{основи}} = \pi r^2\]
где \(r\) - радиус основания конуса.

Формула для нахождения площади боковой поверхности конуса:
\[S_{\text{бокової}} = \pi r l\]
где \(l\) - образующая конуса.

Формула для нахождения площади повной поверхности конуса:
\[S_{\text{повної}} = S_{\text{основи}} + S_{\text{бокової}}\]

В данной задаче нам дана высота конуса, которая равна \(4\sqrt{5}\), а также дана величина - расстояние от центра основания до середины боковой поверхности конуса.

Для решения задачи нам понадобится найти радиус основания конуса и образующую конуса.

Для нахождения радиуса основания конуса, мы можем использовать теорему Пифагора, примененную к правильному треугольнику, образованному в поперечном сечении конуса.

Высота конуса является гипотенузой, расстояние от центра основания до середины образующей - это один из катетов, а радиус основания конуса - это другой катет.

Теорема Пифагора выглядит следующим образом:
\[r^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = h^2\]

Подставляя известные значения в данную формулу, получим:
\[r^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = \left(4\sqrt{5}\right)^2\]

Упростим выражение:
\[r^2 + \frac{l^2}{4} = 80\]

Теперь мы можем выразить образующую конуса через радиус основания:
\[l = \sqrt{80 - 4r^2}\]

Подставим данное выражение в формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса:
\[S_{\text{бокової}} = \pi r \sqrt{80 - 4r^2}\]

Теперь мы можем найти площадь основной поверхности конуса, подставив значение радиуса основания в формулу:
\[S_{\text{основи}} = \pi r^2\]

Наконец, найдем площадь повной поверхности конуса, сложив площадь основной поверхности и площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{повної}} = S_{\text{основи}} + S_{\text{бокової}}\]

После подстановки соответствующих значений и выполнения всех вычислений, мы получим ответ на данную задачу с подробным объяснением. Помните, что в данном задании требуется предоставить пошаговое решение с обоснованием каждого шага.