Яка площа поверхні тетраедра, у якого площа однієї грані становить 5см^2?

Чтобы найти площадь поверхности тетраэдра, у которого площадь одной грани составляет 5 см², нам понадобится использовать формулу для площади поверхности тетраэдра. Напомню, что тетраэдр - это многогранник с четырьмя гранями.

Формула для площади поверхности тетраэдра:
\[S = \sqrt{3} \cdot a^2,\]
где \(S\) - площадь поверхности тетраэдра, \(a\) - длина ребра тетраэдра.

Так как у нас дана площадь одной грани тетраэдра, а не длина ребра, нам нужно сначала найти длину ребра.

Для этого воспользуемся формулой площади грани тетраэдра:
\[S_{\text{грани}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2,\]
где \(S_{\text{грани}}\) - площадь одной грани тетраэдра, \(a\) - длина ребра тетраэдра.

Подставим известное значение площади грани и найдем длину ребра:
\[5 \, \text{см}^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2.\]

Для удобства дальнейших вычислений, решим уравнение относительно \(a^2\):
\[a^2 = \frac{4 \cdot 5 \, \text{см}^2}{\sqrt{3}}.\]

Выполняя указанные вычисления, получаем:
\[a^2 = \frac{20 \, \text{см}^2}{\sqrt{3}}.\]

Теперь найдем площадь поверхности тетраэдра, подставив найденную длину ребра в формулу:
\[S = \sqrt{3} \cdot \left(\frac{20 \, \text{см}^2}{\sqrt{3}}\right)^2.\]

Выполняя указанные вычисления, получаем:
\[S = \sqrt{3} \cdot \frac{400 \, \text{см}^2}{3}.\]

Дальше упрощаем:
\[S = \frac{400\sqrt{3}}{3} \, \text{см}^2.\]

Таким образом, площадь поверхности тетраэдра, у которого площадь одной грани составляет 5 см², равна \(\frac{400\sqrt{3}}{3} \, \text{см}^2\).