Яка площа основи піраміди, якщо площа її бічної поверхні дорівнює 64 см², а всі бічні грані нахилені до площини основи

Для решения этой задачи, нам понадобится знание формулы для боковой поверхности пирамиды. Дано, что площадь боковой поверхности равна 64 см². Обозначим эту величину как S. Формула для площади боковой поверхности пирамиды имеет вид:

\[S = \frac{Pl}{2}\]

где P - периметр основания, а l - длина боковой грани.

В задаче сказано, что все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Когда боковая грань пирамиды наклонена под таким углом, она образует равносторонний треугольник с плоскостью основания.

Так как все боковые грани равносторонние треугольники, то периметр основания равен 3 разам длине любой стороны основания. Обозначим сторону основания как a. Тогда периметр P будет равен 3a.

Также, в задаче сказано, что боковая площадь равна 64 см². Подставим эти значения в формулу для боковой поверхности пирамиды:

\[64 = \frac{3al}{2}\]

Для дальнейших вычислений нам необходимо найти длину боковой грани (l). Для этого воспользуемся геометрическим свойством равностороннего треугольника: все углы равны 60°. Так как у нас имеется прямоугольный треугольник, со сторонами a, l и гипотенузой (боковая грань пирамиды), мы можем применить теорему Пифагора:

\[l^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[l^2 = \frac{4a^2 + a^2}{4}\]
\[l^2 = \frac{5a^2}{4}\]
\[l = \frac{\sqrt{5}a}{2}\]

Подставим это значение l в уравнение для боковой поверхности:

\[64 = \frac{3a \cdot \frac{\sqrt{5}a}{2}}{2}\]
\[64 = \frac{3 \sqrt{5} a^2}{4}\]
\[a^2 = \frac{64 \cdot 4}{3 \sqrt{5}}\]
\[a^2 = \frac{256}{3 \sqrt{5}}\]

Теперь, найдем площадь основания пирамиды, обозначим ее как S₀. Площадь основания равна квадрату длины стороны основания:

\[S₀ = a^2\]
\[S₀ = \frac{256}{3 \sqrt{5}}\]

Осталось только выбрать правильный вариант ответа из предложенных:

а) 16 см²,
б) 64√3 см²,
в) 32√3 см²,
г) 32√3

Подставим значение \(S₀\) и упростим его:

\[S₀ = \frac{256}{3 \sqrt{5}} = \frac{256 \cdot \sqrt{5}}{15}\]

Таким образом, правильным ответом будет "в) 32√3 см²", так как площадь основания пирамиды равна \(\frac{256 \cdot \sqrt{5}}{15}\) квадратных сантиметров.