Яка площа круга, який має таку саму площу, як прямокутник площею 4π см²? Какова площа круга, який вписан в этот

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы площади круга и площади прямоугольника.

Формула площади круга: $S=\pi r^2$, где $S$ - площадь круга, а $r$ - его радиус.

Формула площади прямоугольника: $S=ab$, где $S$ - площадь прямоугольника, $a$ - его длина, а $b$ - его ширина.

Нам дано, что площадь круга равна площади прямоугольника, то есть $S_{\text{круга}}=S_{\text{прямоугольника}}=4\pi {\text{см}}^2$.

Чтобы найти площадь круга, нам надо найти его радиус. Рассмотрим формулу площади прямоугольника и подставим в нее известные значения:

$S_{\text{прямоугольника}}=ab=4\pi$

Так как площадь прямоугольника равна площади круга, то это даёт нам следующее соотношение:

$\pi r^2=4\pi$

Для нахождения радиуса $r$ нам нужно избавиться от множителя $\pi$, деля обе части уравнения на $\pi$:

$r^2=4$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$r=\sqrt{4}$

Извлечение квадратного корня даёт нам два значения: положительный и отрицательный. Однако, радиус не может быть отрицательным, поэтому выбираем положительное значение:

$r=2$

Теперь, когда у нас есть радиус круга, мы можем использовать формулу площади круга, чтобы найти его площадь:

$S_{\text{круга}}=\pi r^2=\pi \cdot 2^2=4\pi$

Таким образом, площадь круга равна $4\pi {\text{см}}^2$.

Теперь рассмотрим вторую часть задачи: площадь круга, вписанного в данный прямоугольник.

Понимаем, что круг, вписанный в прямоугольник, касается его сторон в серединах. Поэтому диаметр круга будет соответствовать меньшей стороне прямоугольника. Значит, длина диаметра равна одной из сторон прямоугольника, а радиус будет половиной длины стороны прямоугольника.

Диаметр круга равен длине одной из сторон прямоугольника, а значит равен $2$. Таким образом, радиус круга равен $1$.

Теперь, используя формулу площади круга, находим площадь вписанного круга:

$$S_{\text{вписанного круга}}=\pi r^2=\pi \cdot 1^2=\pi {\text{см}}^2$$

Таким образом, площадь круга, вписанного в данный прямоугольник, равна $\pi {\text{см}}^2$.