Яка площа круга, який має таку саму площу, як прямокутник площею 4π см²? Какова площа круга, який вписан в этот

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы площади круга и площади прямоугольника.

Формула площади круга: \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь круга, а \(r\) - его радиус.

Формула площади прямоугольника: \(S = ab\), где \(S\) - площадь прямоугольника, \(a\) - его длина, а \(b\) - его ширина.

Нам дано, что площадь круга равна площади прямоугольника, то есть \(S_{\text{круга}} = S_{\text{прямоугольника}} = 4\pi \, \text{см}^2\).

Чтобы найти площадь круга, нам надо найти его радиус. Рассмотрим формулу площади прямоугольника и подставим в нее известные значения:

\(S_{\text{прямоугольника}} = ab = 4\pi\)

Так как площадь прямоугольника равна площади круга, то это даёт нам следующее соотношение:

\(\pi r^2 = 4\pi\)

Для нахождения радиуса \(r\) нам нужно избавиться от множителя \(\pi\), деля обе части уравнения на \(\pi\):

\(r^2 = 4\)

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

\(r = \sqrt{4}\)

Извлечение квадратного корня даёт нам два значения: положительный и отрицательный. Однако, радиус не может быть отрицательным, поэтому выбираем положительное значение:

\(r = 2\)

Теперь, когда у нас есть радиус круга, мы можем использовать формулу площади круга, чтобы найти его площадь:

\(S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\)

Таким образом, площадь круга равна \(4\pi \, \text{см}^2\).

Теперь рассмотрим вторую часть задачи: площадь круга, вписанного в данный прямоугольник.

Понимаем, что круг, вписанный в прямоугольник, касается его сторон в серединах. Поэтому диаметр круга будет соответствовать меньшей стороне прямоугольника. Значит, длина диаметра равна одной из сторон прямоугольника, а радиус будет половиной длины стороны прямоугольника.

Диаметр круга равен длине одной из сторон прямоугольника, а значит равен \(2\). Таким образом, радиус круга равен \(1\).

Теперь, используя формулу площади круга, находим площадь вписанного круга:

\[S_{\text{вписанного круга}} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь круга, вписанного в данный прямоугольник, равна \(\pi \, \text{см}^2\).