Яка площа фігури, обмеженої графіком функції y=6x^2-6 та осі абсцис?

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции \(y = 6x^2-6\) и осью абсцисс, мы можем использовать метод интегрирования. Учитывая, что фигура находится только в положительной области \(x\) в промежутке, где \(y\) неотрицательно, мы можем найти площадь фигуры, вычислив определенный интеграл от \(x = 0\) до точки пересечения с осью абсцисс.

Первым шагом я предлагаю найти точку пересечения графика функции с осью абсцисс. Для этого мы должны решить уравнение \(6x^2 - 6 = 0\):

\[
6x^2 - 6 = 0
\]

Давайте решим его:

\[
6x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) = 0
\]

Таким образом, получаем две точки пересечения: \(x = 1\) и \(x = -1\). Однако, поскольку мы рассматриваем только положительные значения \(x\), выбираем только \(x = 1\) в качестве верхней границы нашего интеграла.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры с использованием определенного интеграла:

\[
S = \int_{0}^{1} (6x^2 - 6) dx
\]

Вычислим этот интеграл пошагово. Сначала раскроем скобки:

\[
S = \int_{0}^{1} (6x^2 - 6) dx = \int_{0}^{1} 6x^2 dx - \int_{0}^{1} 6 dx
\]

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

\[
S = \left[2x^3\right]_{0}^{1} - \left[6x\right]_{0}^{1}
\]

Подставим верхние и нижние пределы интегрирования и вычислим значение интеграла:

\[
S = (2 \cdot 1^3 - 2 \cdot 0^3) - (6 \cdot 1 - 6 \cdot 0) = 2 - 6 = -4
\]

Вот и ответ: площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = 6x^2-6\) и осью абсцисс, составляет -4 единицы площади. Обратите внимание, что ответ отрицательный, что указывает на то, что фигура находится ниже оси абсцисс.