Яка площа бокової поверхні конуса з радіусом основи 4 см і кутом 60º, утвореним з твірною?

Щоб знайти площу бокової поверхні конуса, нам потрібно знати радіус основи і висоту конуса. У цій задачі дано радіус основи, але нам потрібна висота.

Оскільки нам задано кут між радіусом основи і твірною, можемо скористатися геометрією трикутника для знаходження висоти.

Утворена з твірною фігура - трикутник. Сторона трикутника, що дорівнює радіусу основи (4 см), є катетом, а висота - протилежним катетом.

Застосуємо теорему Піфагора для знаходження висоти:

\[
h = \sqrt{l^2 - r^2}
\]

де \(l\) - довжина гіпотенузи (твірної), \(r\) - радіус основи.

Знаходимо довжину гіпотенузи (твірної), використовуючи кут 60°:

\[
l = 2 \cdot r \cdot \sin(60°)
\]

Знаходимо висоту конуса:

\[
h = \sqrt{l^2 - r^2}
\]

Розрахуємо значення:

\[
l = 2 \cdot 4 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot 0.86602540378 = 6.92820323028
\]

\[
h = \sqrt{6.92820323028^2 - 4^2} = \sqrt{47.9999999999 - 16} = \sqrt{31.9999999999} = 5.65685424949
\]

Отже, висота конуса дорівнює 5.65685424949 см.

Тепер, коли ми знаходимо висоту, ми можемо обчислити площу бокової поверхні конуса.

Формула для площі бокової поверхні конуса:

\[
S = \pi \cdot r \cdot l
\]

Підставимо дані в формулу:

\[
S = 3.14159265359 \cdot 4 \cdot 6.92820323028 = 86.5909191231 \, см^2
\]

Таким чином, площа бокової поверхні конуса з радіусом основи 4 см і кутом 60º, утвореним з твірною, дорівнює 86.5909191231 см².