Яка є об єм піраміди, з властивостями, що при основі лежить прямокутник зі сторонами 1 см і 2 см, а всі бічні ребра

Чтобы найти объем пирамиды, сначала нам необходимо найти площадь ее основания. Основание пирамиды является прямоугольником со сторонами 1 см и 2 см. Площадь прямоугольника можно найти, умножив его длину на ширину:

\[S_{\text{прямоугольника}} = \text{длина} \times \text{ширина}\]
\[S_{\text{прямоугольника}} = 1 \, \text{см} \times 2 \, \text{см} = 2 \, \text{см}^2\]

Теперь, чтобы найти площадь основания пирамиды, нам нужно умножить площадь прямоугольника на синус угла между плоскостью основания и боковыми гранями пирамиды. Угол между плоскостью основания и боковыми гранями равен 30 градусов, поэтому мы возьмем синус этого угла:

\[S_{\text{основания}} = S_{\text{прямоугольника}} \times \sin(30^\circ)\]
\[S_{\text{основания}} = 2 \, \text{см}^2 \times \sin(30^\circ)\]
\[S_{\text{основания}} = 1 \, \text{см}^2\]

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, мы умножаем площадь основания на высоту пирамиды. Высота пирамиды не указана в задаче, поэтому нам придется немного подумать. Как образуется пирамида, когда все ее боковые ребра находятся под углом 30 градусов к плоскости основания? Для этого мы можем нарисовать пирамиду в виде треугольника-основания и соединить каждую из его вершин с вершиной пирамиды. Таким образом, пирамида будет образована треугольниками, каждый из которых является прямоугольным с катетами, равными длинам сторон прямоугольника основания.

Теперь, если мы рассмотрим один из этих треугольников, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{катет1} \times \text{катет2}\]

В нашей задаче, каждый катет треугольника будет иметь длину 1 см. Поэтому площадь каждого треугольника будет равна

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 1 \, \text{см} \times 1 \, \text{см} = \frac{1}{2} \, \text{см}^2\]

Так как у нас есть 2 таких треугольника в пирамиде (мы можем увидеть это из рисунка, который мы нарисовали), общая площадь треугольников составляет

\[2 \times \frac{1}{2} \, \text{см}^2 = 1 \, \text{см}^2\]

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя теорему Пифагора в одном из треугольников:

\[\text{гипотенуза}^2 = \text{катет1}^2 + \text{катет2}^2\]
\[\text{высота}^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\]
\[\text{высота}^2 = 1 + \frac{1}{4}\]
\[\text{высота}^2 = \frac{5}{4}\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти высоту:

\[\text{высота} = \sqrt{\frac{5}{4}}\]
\[\text{высота} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]

Наконец, мы можем найти объем пирамиды, умножив площадь основания на высоту:

\[V_{\text{пирамиды}} = S_{\text{основания}} \times \text{высота}\]
\[V_{\text{пирамиды}} = 1 \, \text{см}^2 \times \frac{\sqrt{5}}{2}\]
\[V_{\text{пирамиды}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем пирамиды составляет \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) кубических сантиметров.