Яка можлива ймовірність зловити 3 карасі і 4 окуні серед пійманих 7 риб, які складаються з 14 окунів і 6 карасів?

Чтобы решить задачу, нам нужно вычислить вероятность зловить 3 карася и 4 окуня из общего количества 7 пойманных рыб. При этом известно, что в исходном объеме рыб состоят из 14 окуней и 6 карасей.

Давайте начнем с определения общего числа возможных комбинаций 7 пойманных рыб. Это можно сделать с использованием формулы сочетаний. Формула сочетаний из \(n\) по \(k\) задается выражением:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n!\) представляет собой факториал числа \(n\), а \(\binom{n}{k}\) обозначает число комбинаций из \(n\) элементов, выбранных по \(k\).

В данном случае у нас есть 20 рыб (14 окуней + 6 карасей), поэтому \(n = 20\).

Теперь рассмотрим количество комбинаций, в которых содержатся 3 карася и 4 окуня. Переберем все возможные комбинации карасей и окуней, содержащие 7 рыб, и посчитаем сколько из них содержат именно 3 карася и 4 окуня.

У нас есть следующие комбинации, удовлетворяющие данным условиям:

1) 3 карася и 4 окуня
2) 4 карася и 3 окуня
3) 5 карасей и 2 окуня

Теперь вычислим количество комбинаций для каждой из этих трех ситуаций.

Для первого случая (3 карася и 4 окуня) мы должны выбрать 3 карася из 6 доступных и 4 окуня из оставшихся 14 окуней. Поэтому количество таких комбинаций будет:

\[\binom{6}{3} \cdot \binom{14}{4}\]

Аналогично, для второго случая (4 карася и 3 окуня) мы должны выбрать 4 карася из 6 доступных и 3 окуня из оставшихся 14 окуней. Поэтому количество таких комбинаций будет:

\[\binom{6}{4} \cdot \binom{14}{3}\]

Наконец, для третьего случая (5 карасей и 2 окуня), мы должны выбрать 5 карасей из 6 доступных и 2 окуня из оставшихся 14 окуней. Поэтому количество таких комбинаций будет:

\[\binom{6}{5} \cdot \binom{14}{2}\]

Теперь, чтобы получить общую вероятность, нам нужно сложить количество комбинаций для каждой из трех ситуаций и разделить на общее количество возможных комбинаций:

\[\text{Общая вероятность} = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{14}{4} + \binom{6}{4} \cdot \binom{14}{3} + \binom{6}{5} \cdot \binom{14}{2}}{\binom{20}{7}}\]

Вычислим значения для каждого из числителей и знаменателя:

\[\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\]

\[\binom{14}{4} = \frac{14!}{4!(14-4)!} = \frac{14!}{4! \cdot 10!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1001\]

\[\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\]

\[\binom{14}{3} = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 364\]

\[\binom{6}{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6}{1} = 6\]

\[\binom{14}{2} = \frac{14!}{2!(14-2)!} = \frac{14!}{2! \cdot 12!} = \frac{14 \cdot 13}{2 \cdot 1} = 91\]

\[\binom{20}{7} = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7! \cdot 13!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 77520\]

Теперь можем рассчитать общую вероятность:

\[\text{Общая вероятность} = \frac{20 \cdot 1001 + 15 \cdot 364 + 6 \cdot 91}{77520} = \frac{20020 + 5460 + 546}{77520} = \frac{26026}{77520} \approx 0.3357\]

Таким образом, вероятность зловить 3 карася и 4 окуня среди 7 пойманных рыб будет примерно равна 0.3357 или около 33.57%.